Question

用二项式定理展开 $(1+0.2)^{1000}$ ，且不再作任何化简，得到 $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000}\end{aligned}\text{，}$ 其中，当 $k=0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $1000$ 时， $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ 。 $k$ 等于多少时 $A_k$ 最大？

Expanding $(1+0.2)^{1000}$ by the binomial theorem and doing no further manipulation gives $\begin{aligned}&\binom{1000}{0}(0.2)^0+\binom{1000}{1}(0.2)^1\\&+\binom{1000}{2}(0.2)^2+\cdots\\&+\binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}\\&=A_0+A_1+\cdots+A_{1000},\end{aligned}$ where $A_k=\binom{1000}{k}(0.2)^k$ for $k=0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $1000.$ For which $k$ is $A_k$ the largest?

答案

答案：166

知识点：二项式定理不等式最优化

难度评级：2060

小提示：

不要估算二项式系数，直接比较 $A_{k+1}$ 与 $A_k$ 。

Compare $A_{k+1}$ directly with $A_k$ instead of estimating the binomial coefficients

大提示：

找出使 $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ 大于 $1$ 的最后一个 $k$ 。

Find the last $k$ for which $\frac{A_{k+1}}{A_k}$ is greater than $1$

解答：

相邻两项满足 $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15\text{。}$ 当且仅当 $1000-k>5k+5$ ，即 $k<\frac{995}{6}$ 时，这个比值大于 $1$ 。因此各项一直递增到 $A_{166}$ ，此后递减。所以最大项是 $A_{166}$ 。

Consecutive terms satisfy $\frac{A_{k+1}}{A_k}=\frac{1000-k}{k+1}\cdot\frac15.$ This ratio exceeds $1$ exactly when $1000-k>5k+5,$ or $k<\frac{995}{6}.$ Thus the terms increase through $A_{166}$ and decrease afterward. Therefore the largest term is $A_{166}.$

1991 AIME 第 3 题

答案：166

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 3 题