Question

方程 $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ 的图像把平面分成若干区域。求有界区域的面积。

The graph of $y^2 + 2xy + 40|x| = 400$ partitions the plane into several regions. What is the area of the bounded region?

答案

答案：800

知识点：绝对值坐标几何因式分解平行四边形

难度评级：2340

小提示：

当 $x \ge 0$ 时，方程可整理为 $2x(y + 20) = 400 - y^2$ ，右边可以因式分解

For $x \ge 0$ the equation rearranges to $2x(y + 20) = 400 - y^2,$ and the right side factors

大提示：

每种符号情形都会给出两条直线；这四条射线围成一个平行四边形，其水平边在 $y = 20$ 和 $y = -20$ 上

Each sign case yields two lines; the four rays bound a parallelogram with horizontal sides on $y = 20$ and $y = -20$

解答：

当 $x \ge 0$ 时，把方程改写为 $2x(y + 20)$ $= 400 - y^2$ $= (20 - y)(20 + y)$ ，所以 $y = -20$ 或 $y = 20 - 2x$ 。当 $x \le 0$ 时，方程变为 $2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20)$ ，所以 $y = 20$ 或 $y = -20 - 2x$ 。因此图像由两条水平射线和两条斜率为 $-2$ 的射线组成。

这些射线围成一个平行四边形：上边从 $(-20, 20)$ 到 $(0, 20)$ ，在 $y = 20$ 上；下边从 $(0, -20)$ 到 $(20, -20)$ ，在 $y = -20$ 上；两条斜率为 $-2$ 的斜边把它们连接起来。

这个平行四边形的水平底为 $20$ ，高为 $40$ ，也就是两条直线 $y = 20$ 和 $y = -20$ 之间的距离，所以面积为 $20 \cdot 40 = 800$ 。

For $x \ge 0$ rewrite the equation as $2x(y + 20)$ $= 400 - y^2$ $= (20 - y)(20 + y),$ so either $y = -20$ or $y = 20 - 2x.$ For $x \le 0$ it becomes $2x(y - 20) = -(y - 20)(y + 20),$ so either $y = 20$ or $y = -20 - 2x.$ The graph therefore consists of two horizontal rays and two rays of slope $-2.$

These rays bound a parallelogram: the top edge runs from $(-20, 20)$ to $(0, 20)$ along $y = 20,$ the bottom edge from $(0, -20)$ to $(20, -20)$ along $y = -20,$ and the two slanted edges of slope $-2$ connect them.

The parallelogram has horizontal base $20$ and height $40$ between the lines $y = 20$ and $y = -20,$ so its area is $20 \cdot 40 = 800.$

1998 AIME 第 3 题

答案：800

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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