Question

求正整数有序对 $(x, y)$ 的个数，其中 $x \le 2y \le 60$ 且 $y \le 2x \le 60$ 。

Find the number of ordered pairs $(x, y)$ of positive integers that satisfy $x \le 2y \le 60$ and $y \le 2x \le 60.$

答案

答案：480

知识点：数对计数不等式补集计数对称性

难度评级：2110

小提示：

四个限制条件合起来把 $(x, y)$ 限制在正方形 $1 \le x, y \le 30$ 中

All four constraints together confine $(x, y)$ to the square $1 \le x, y \le 30$

大提示：

在这个正方形内，减去满足 $y \gt 2x$ 的有序对和满足 $x \gt 2y$ 的有序对；这两个不合格集合互不相交且大小相同

Inside that square, subtract the pairs with $y \gt 2x$ and those with $x \gt 2y;$ the two bad sets are disjoint and have equal size

解答：

两个链式不等式展开为四个条件： $x \le 2y$ 、 $2y \le 60$ 、 $y \le 2x$ 和 $2x \le 60$ 。所以 $(x, y)$ 位于正方形 $1 \le x, y \le 30$ 内，并且要排除 $x \gt 2y$ 和 $y \gt 2x$ ，这两个条件不可能同时发生。

对于满足 $y \gt 2x$ 的有序对，当 $x$ 从 $1$ 到 $14$ 时， $y = 2x + 1, \ldots, 30$ 都可行，因此共有 $\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)$ $= 420 - 210$ $= 210$ 对。由交换 $x$ 与 $y$ 的对称性，也有 $210$ 对满足 $x \gt 2y$ 的有序对。

所以答案是 $30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480$ 。

The chains unpack into four conditions: $x \le 2y,$ $2y \le 60,$ $y \le 2x,$ and $2x \le 60.$ So $(x, y)$ lies in the square $1 \le x, y \le 30,$ and within it we must avoid $x \gt 2y$ and $y \gt 2x,$ which cannot both happen.

Pairs with $y \gt 2x:$ for each $x$ from $1$ to $14$ the values $y = 2x + 1, \ldots, 30$ work, giving $\sum_{x=1}^{14} (30 - 2x)$ $= 420 - 210$ $= 210$ pairs. By the symmetry swapping $x$ and $y,$ there are also $210$ pairs with $x \gt 2y.$

The answer is $30 \cdot 30 - 210 - 210 = 480.$

1998 AIME 第 2 题

答案：480

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题