Question

设 $a_0 = 2$ 、 $a_1 = 5$ 、 $a_2 = 8$ ，对 $n \gt 2$ ，递归定义 $a_n$ 为 $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ 除以 $11$ 的余数。求 $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}$ 。

Let $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ and $a_2 = 8,$ and for $n \gt 2$ define $a_n$ recursively to be the remainder when $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ is divided by $11.$ Find $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

答案

答案：112

知识点：递推模运算找规律

难度评级：1970

小提示：

逐项计算；每一项只依赖前三项，所以一旦某个连续三项的三元组重复，数列就开始周期重复

Compute terms one at a time; each term depends only on the previous three, so once a triple of consecutive terms repeats, the sequence is periodic

大提示：

这个数列的周期为 $10$ ，所以把指标 $2018$ 、 $2020$ 、 $2022$ 对 $10$ 取余

The sequence repeats with period $10,$ so reduce the indices $2018,$ $2020,$ $2022$ modulo $10$

解答：

逐项计算得 $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ 因为 $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ ，且每一项只由前三项决定，所以数列以 $10$ 为周期。

因此 $a_{2018} = a_8 = 7$ 、 $a_{2020} = a_0 = 2$ 、 $a_{2022} = a_2 = 8$ ，乘积为 $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112$ 。

Computing successive terms gives $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Since $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ and each term depends only on the previous three, the sequence is periodic with period $10.$

Therefore $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ and $a_{2022} = a_2 = 8,$ so the product is $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

2018 AIME II 第 2 题

答案：112

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题