Question

存在实数 $x$ 和 $y$ ，且二者都大于 $1$ ，使得 $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10$ 。求 $xy$ 。

There exist real numbers $x$ and $y,$ both greater than $1,$ such that $\log_x\left(y^x\right) = \log_y\left(x^{4y}\right) = 10.$ Find $xy.$

答案

答案：25

知识点：对数代数变形

难度评级：2070

小提示：

把指数提到前面： $x \log_x y = 10$ 且 $4y \log_y x = 10$

Bring the exponents down: $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10$

大提示：

将两个方程相乘；因为 $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ ，对数项会消失

Multiply the two equations: since $\log_x y \cdot \log_y x = 1,$ the logarithms disappear

解答：

将指数从对数中提出来，条件变为 $x \log_x y = 10$ 和 $4y \log_y x = 10\text{。}$ 两式相乘，并使用 $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ ，得到 $4xy = 100$ ，所以 $xy = 25$ 。

这样的 $x$ 和 $y$ 的确存在。令 $y = \frac{25}{x}$ 。连续函数 $x\log_x(\frac{25}{x})$ 在 $x \to 1^+$ 时趋于无穷大，而在 $x = 2$ 时小于 $10$ 。因此它在某个 $1 \lt x \lt 2$ 处等于 $10$ ，此时 $y \gt 1$ 。

Pulling the exponents out of the logarithms, the conditions become $x \log_x y = 10$ and $4y \log_y x = 10.$ Multiplying these equations and using $\log_x y \cdot \log_y x = 1$ gives $4xy = 100,$ so $xy = 25.$

Such $x$ and $y$ do exist. Set $y = \frac{25}{x}.$ The continuous function $x\log_x(\frac{25}{x})$ tends to infinity as $x \to 1^+,$ while at $x = 2$ it is less than $10.$ Hence it equals $10$ for some $1 \lt x \lt 2,$ where $y \gt 1.$

2024 AIME I 第 2 题

答案：25

难度评级：2070

小提示：

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解答：

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