Question

Jenn 随机选择一个数 $J$ ，它来自 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $19$ 、 $20$ 。然后 Bela 随机选择一个数 $B$ ，它也来自 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $\ldots$ 、 $19$ 、 $20$ ，且不同于 $J$ 。 $B - J$ 至少为 $2$ 的概率可以表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Jenn randomly chooses a number $J$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20.$ Bela then randomly chooses a number $B$ from $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $19,$ $20$ distinct from $J.$ The value of $B - J$ is at least $2$ with a probability that can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：29

知识点：基本概率数对计数

难度评级：1950

小提示：

共有 $20 \cdot 19$ 个等可能的有序对 $(J, B)$ ，其中 $B \neq J$

All $20 \cdot 19$ ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J$ are equally likely

大提示：

对每个 $J$ ，有 $19 - J$ 个 $B$ 满足 $B \ge J + 2$ ，所以有利情况数是 $1 + 2 + \cdots + 18$

For each $J$ there are $19 - J$ values of $B$ with $B \ge J + 2,$ so the favorable count is $1 + 2 + \cdots + 18$

解答：

共有 $20 \cdot 19 = 380$ 个等可能的有序对 $(J, B)$ ，其中 $B \neq J$ 。条件 $B \ge J + 2$ 给出 $19 - J$ 个 $B$ 的选择，只需考虑 $J \le 18$ ，所以有利有序对数为 $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171 \end{aligned}\text{。}$

概率为 $\frac{171}{380} = \frac{9}{20}$ ，所以 $m + n = 9 + 20 = 29$ 。

There are $20 \cdot 19 = 380$ equally likely ordered pairs $(J, B)$ with $B \neq J.$ The condition $B \ge J + 2$ allows $19 - J$ choices of $B$ for each $J \le 18,$ so the number of favorable pairs is $\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}$

The probability is $\frac{171}{380} = \frac{9}{20},$ so $m + n = 9 + 20 = 29.$

2019 AIME I 第 2 题

答案：29

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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