Question

对每个实数 $x$ ，用 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。有多少个正整数 $n$ 同时满足 $n<1000$ ，并且 $\lfloor\log_2 n\rfloor$ 是正偶数？

For each real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer that does not exceed $x.$ For how many positive integers $n$ is it true that $n<1000$ and that $\lfloor\log_2 n\rfloor$ is a positive even integer?

答案

答案：340

知识点：取整函数对数区间内整数计数

难度评级：1740

小提示：

把 $\lfloor\log_2n\rfloor$ 的每个可能值转化为一个以二的幂为端点的区间

Translate each possible value of $\lfloor\log_2n\rfloor$ into a power-of-two interval

大提示：

小于 $1000$ 的可能偶数值为 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 和 $8$

The possible even values below $1000$ are $2,$ $4,$ $6,$ and $8$

解答：

若 $\lfloor\log_2n\rfloor=k$ ，则 $2^k\leq n<2^{k+1}$ 。 $k$ 可以取 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 或 $8$ ，因为 $2^{10}>1000$ 。对应区间中的整数个数分别为 $2^2$ 、 $2^4$ 、 $2^6$ 和 $2^8$ 。因此所求个数为 $4+16+64+256=340\text{。}$

If $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ then $2^k\leq n<2^{k+1}.$ The value of $k$ can be $2,$ $4,$ $6,$ or $8,$ since $2^{10}>1000.$ The corresponding interval sizes are $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ and $2^8.$ Therefore the requested number is $4+16+64+256=340.$

1996 AIME 第 2 题

答案：340

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题