Question

求下列方程所有正根之积的末三位数字： $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2\text{。}$

Find the last three digits of the product of the positive roots of $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.$

答案

答案：25

知识点：对数二次方程模运算

难度评级：1780

小提示：

令 $y=\log_{1995}x$ ，则 $x=1995^y$

Set $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y$

大提示：

比较 $1995$ 的指数，再利用两个 $y$ 值的和

Compare exponents of $1995$ , then use the sum of the two values of $y$

解答：

令 $y=\log_{1995}x$ ，则 $x=1995^y$ 。原方程化为 $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y}\text{，}$ 从而 $(y-1)^2=\frac{1}{2}$ 。两个 $y$ 值的和为 $2$ ，所以相应两个正根的乘积为 $1995^2$ 。由于 $1995\equiv-5\pmod {1000}$ ，其末三位数字为 $025$ 。所求的 AIME 答案为 $25$ 。

Put $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y.$ The equation becomes $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},$ and hence $(y-1)^2=\frac{1}{2}.$ The two values of $y$ have sum $2,$ so the product of the corresponding positive roots is $1995^2.$ Since $1995\equiv-5\pmod {1000},$ its last three digits are $025.$ The requested AIME answer is $25.$

1995 AIME 第 2 题

答案：25

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题