Question

圆上标有十个点。从中选取部分（或全部）点作为顶点，可以画出多少个不同的至少有三条边的凸多边形？

Ten points are marked on a circle. How many distinct convex polygons of three or more sides can be drawn using some (or all) of the ten points as vertices?

答案

答案：968

知识点：组合补集计数子集

难度评级：1780

小提示：

每组选出的至少三个标记点恰好确定一个凸多边形

Each choice of at least three marked points determines one convex polygon

大提示：

先数出所有子集，再去掉大小为 $0$ 、 $1$ 和 $2$ 的子集

Count all subsets and remove those of sizes $0,$ $1,$ and $2$

解答：

每个至少含三个点的子集恰好确定一个凸多边形。子集总数为 $2^{10}=1024$ 。其中， $\binom{10}{0}=1$ 、 $\binom{10}{1}=10$ 和 $\binom{10}{2}=45$ 分别是少于三个点的子集数。因此所求数量为 $1024-1-10-45=968$ 。

Every subset of at least three points determines exactly one convex polygon. There are $2^{10}=1024$ subsets in all. Of these, $\binom{10}{0}=1,$ $\binom{10}{1}=10,$ and $\binom{10}{2}=45$ have fewer than three points. Therefore the required number is $1024-1-10-45=968.$

1989 AIME 第 2 题

答案：968

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题