Question

两个等比数列 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 和 $b_1$ 、 $b_2$ 、 $b_3$ 、 $\ldots$ 有相同的公比，且 $a_1 = 27$ 、 $b_1 = 99$ 、 $a_{15} = b_{11}$ 。求 $a_9$ 。

Two geometric sequences $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ and $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $\ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

答案

答案：363

知识点：等比数列代数变形

难度评级：1750

小提示：

设共同公比为 $r$ ，条件 $a_{15} = b_{11}$ 表示 $27r^{14} = 99r^{10}$ 。

With common ratio $r,$ the condition $a_{15} = b_{11}$ says $27r^{14} = 99r^{10}$

大提示：

只需求 $r^4$ ，因为 $a_9 = 27r^8$ 。

You only need $r^4,$ because $a_9 = 27r^8$

解答：

设 $r$ 为共同公比。则 $a_{15} = 27r^{14}$ ， $b_{11} = 99r^{10}$ ，所以 $27r^{14} = 99r^{10}$ 给出 $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}$ 。

因此 $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363 \end{aligned}\text{。}$

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

2012 AIME II 第 2 题

答案：363

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题