Question

求下式的值： $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\end{aligned}\text{。}$

Find the value of $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}$

答案

答案：828

知识点：根式完全平方数立方和与立方差

难度评级：1750

小提示：

将 $52\pm6\sqrt{43}$ 表示为一对共轭根式的平方

Express $52\pm6\sqrt{43}$ as squares of conjugate radical expressions

大提示：

取 $\frac{3}{2}$ 次幂后，对称地展开两个立方之差

After taking the $\frac{3}{2}$ powers, expand the difference of the two cubes symmetrically

解答：

由于 $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ 且 $\sqrt{43}\gt3$ ，原式为 $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3$ 。在恒等式 $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ 中取 $x=\sqrt{43}$ 和 $y=3$ ，得到 $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828\end{aligned}\text{。}$

Since $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ and $\sqrt{43}\gt3,$ the expression is $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3.$ Using $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ with $x=\sqrt{43}$ and $y=3$ gives $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828.\end{aligned}$

1990 AIME 第 2 题

答案：828

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题