Question

Halla el valor de $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}$

Find the value of $\begin{aligned}&(52+6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}\\&\quad-(52-6\sqrt{43})^{\frac{3}{2}}.\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 828

Conceptos:radical cuadrado perfecto suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Expresa $52\pm6\sqrt{43}$ como cuadrados de expresiones radicales conjugadas

Express $52\pm6\sqrt{43}$ as squares of conjugate radical expressions

Pista grande:

Después de elevar a la potencia $\frac{3}{2}$ , desarrolla simétricamente la diferencia de los dos cubos

After taking the $\frac{3}{2}$ powers, expand the difference of the two cubes symmetrically

Solución:

Como $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ y $\sqrt{43}\gt3,$ la expresión es $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3.$ Al usar $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ con $x=\sqrt{43}$ y $y=3$ , se obtiene $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828.\end{aligned}$

Since $52\pm6\sqrt{43}=(\sqrt{43}\pm3)^2$ and $\sqrt{43}\gt3,$ the expression is $(\sqrt{43}+3)^3-(\sqrt{43}-3)^3.$ Using $(x+y)^3-(x-y)^3=6x^2y+2y^3$ with $x=\sqrt{43}$ and $y=3$ gives $\begin{aligned}6(43)(3)+2(27)&=774+54\\&=828.\end{aligned}$

1990 AIME Problema 2

Respuesta: 828

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años