Question

Para cada número real $x,$ sea $\lfloor x\rfloor$ el mayor entero que no excede a $x.$ ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que $n<1000$ y que $\lfloor\log_2 n\rfloor$ es un entero positivo par?

For each real number $x,$ let $\lfloor x\rfloor$ denote the greatest integer that does not exceed $x.$ For how many positive integers $n$ is it true that $n<1000$ and that $\lfloor\log_2 n\rfloor$ is a positive even integer?

Respuesta

Respuesta: 340

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Convierte cada valor posible de $\lfloor\log_2n\rfloor$ en un intervalo entre potencias de dos

Translate each possible value of $\lfloor\log_2n\rfloor$ into a power-of-two interval

Pista grande:

Los posibles valores pares menores que $1000$ son $2,$ $4,$ $6,$ y $8$

The possible even values below $1000$ are $2,$ $4,$ $6,$ and $8$

Solución:

Si $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ entonces $2^k\leq n<2^{k+1}.$ El valor de $k$ puede ser $2,$ $4,$ $6,$ u $8,$ pues $2^{10}>1000.$ Los tamaños de los intervalos correspondientes son $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ y $2^8.$ Por lo tanto, la cantidad pedida es $4+16+64+256=340.$

If $\lfloor\log_2n\rfloor=k,$ then $2^k\leq n<2^{k+1}.$ The value of $k$ can be $2,$ $4,$ $6,$ or $8,$ since $2^{10}>1000.$ The corresponding interval sizes are $2^2,$ $2^4,$ $2^6,$ and $2^8.$ Therefore the requested number is $4+16+64+256=340.$

1996 AIME Problema 2

Respuesta: 340

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años