Question

Se llama ascendente a un entero positivo cuya representación decimal tiene al menos dos cifras y en la que cada cifra es menor que cualquiera de las cifras situadas a su derecha. ¿Cuántos enteros positivos ascendentes hay?

A positive integer is called ascending if, in its decimal representation, there are at least two digits and each digit is less than any digit to its right. How many ascending positive integers are there?

Respuesta

Respuesta: 502

Conceptos:subconjuntos dígitos combinaciones

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Una vez elegido un conjunto de cifras no nulas, el orden queda determinado

Once a set of nonzero digits is chosen, their order is forced

Pista grande:

Excluye los subconjuntos de tamaños $0$ y $1$ de los subconjuntos de $\{1,2,\ldots,9\}$

Exclude subsets of sizes $0$ and $1$ from the subsets of $\{1,2,\ldots,9\}$

Solución:

La cifra $0$ no puede aparecer, pues tendría que ser la primera y los ceros iniciales no forman parte de una representación decimal. Cada subconjunto de al menos dos cifras de $\{1,\ldots,9\}$ produce exactamente un entero ascendente al escribirlas en orden creciente. Por consiguiente, la cantidad es $\begin{aligned}2^9-\binom90-\binom91&=512-1-9\\&=502.\end{aligned}$

The digit $0$ cannot occur, because it would have to be the first digit and leading zeroes are not part of a decimal representation. Every subset of at least two digits from $\{1,\ldots,9\}$ gives exactly one ascending integer when written in increasing order. Hence the number is $\begin{aligned}2^9-\binom90-\binom91&=512-1-9\\&=502.\end{aligned}$

1992 AIME Problema 2

Respuesta: 502

Nivel de dificultad: 1700

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años