Question

El rectángulo $ABCD$ tiene el lado $\overline{AB}$ de longitud $4$ y el lado $\overline{CB}$ de longitud $3.$ Divide $\overline{AB}$ en $168$ segmentos congruentes mediante los puntos $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ y divide $\overline{CB}$ en $168$ segmentos congruentes mediante los puntos $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ Para $1\leq k\leq167,$ traza los segmentos $\overline{P_kQ_k}.$ Repite esta construcción en los lados $\overline{AD}$ y $\overline{CD},$ y luego traza la diagonal $\overline{AC}.$ Halla la suma de las longitudes de los $335$ segmentos paralelos trazados.

Rectangle $ABCD$ has sides $\overline{AB}$ of length $4$ and $\overline{CB}$ of length $3.$ Divide $\overline{AB}$ into $168$ congruent segments with points $A=P_0,$ $P_1,$ $\ldots,$ $P_{168}=B,$ and divide $\overline{CB}$ into $168$ congruent segments with points $C=Q_0,$ $Q_1,$ $\ldots,$ $Q_{168}=B.$ For $1\leq k\leq167,$ draw the segments $\overline{P_kQ_k}.$ Repeat this construction on the sides $\overline{AD}$ and $\overline{CD},$ and then draw the diagonal $\overline{AC}.$ Find the sum of the lengths of the $335$ parallel segments drawn.

Respuesta

Respuesta: 840

Conceptos:semejanza sucesión aritmética rectángulo

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Cada segmento $\overline{P_kQ_k}$ es paralelo a la hipotenusa del triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ , y su longitud es una fracción fija de la de esa hipotenusa

Each segment $\overline{P_kQ_k}$ is parallel to the $3$ - $4$ - $5$ diagonal and is a fixed fraction of its length

Pista grande:

Las dos construcciones sobre los lados producen dos sumas aritméticas idénticas; recuerda incluir $\overline{AC}$

The two side constructions give two identical arithmetic sums; remember to include $\overline{AC}$

Solución:

Toma $A=(0,0),$ $B=(4,0),$ y $C=(4,3).$ Entonces $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right),\end{aligned}$ por lo que la proporción $3$ - $4$ - $5$ da $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right).$ Así, una construcción tiene longitud total $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}.$ La construcción en los otros dos lados tiene el mismo total, y $AC=5.$ Por consiguiente, la suma pedida es $5(167)+5=840.$

Put $A=(0,0),$ $B=(4,0),$ and $C=(4,3).$ Then $\begin{aligned}P_k&=\left(\frac{4k}{168},0\right),\\Q_k&=\left(4,3-\frac{3k}{168}\right),\end{aligned}$ so the $3$ - $4$ - $5$ ratio gives $P_kQ_k=5\left(1-\frac{k}{168}\right).$ Hence one construction has total length $5\sum_{k=1}^{167}\left(1-\frac{k}{168}\right)=\frac{5\cdot167}{2}.$ The construction on the other two sides has the same total, and $AC=5.$ Thus the requested sum is $5(167)+5=840.$

1991 AIME Problema 2

Respuesta: 840

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años