Question

Un círculo cuyo diámetro $\overline{PQ}$ mide $10$ es tangente interiormente en $P$ a un círculo de radio $20.$ Se construye el cuadrado $ABCD$ con $A$ y $B$ sobre el círculo mayor, $\overline{CD}$ tangente en $Q$ al círculo menor y el círculo menor fuera de $ABCD.$ La longitud de $\overline{AB}$ puede escribirse en la forma $m+\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros. Halla $m+n.$

A circle with diameter $\overline{PQ}$ of length $10$ is internally tangent at $P$ to a circle of radius $20.$ Square $ABCD$ is constructed with $A$ and $B$ on the larger circle, $\overline{CD}$ tangent at $Q$ to the smaller circle, and the smaller circle outside $ABCD.$ The length of $\overline{AB}$ can be written in the form $m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are integers. Find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 312

Conceptos:cuerda cuadrado (geometría)cuadrática

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Coloca el círculo grande en el origen y sitúa $P$ y $Q$ sobre un diámetro

Place the large circle at the origin and put $P$ and $Q$ on a diameter

Pista grande:

Si el lado del cuadrado mide $s$ , su lado-cuerda $AB$ está a una distancia $|10-s|$ del centro del círculo grande

If the square’s side is $s$ , its chord side $AB$ lies at distance $|10-s|$ from the large circle’s center

Solución:

Coloca el círculo grande en el origen con $P=(20,0)$ y $Q=(10,0).$ Sea $s$ el lado del cuadrado. Como el círculo menor está fuera del cuadrado, $\overline{CD}$ se encuentra sobre $x=10$ y la cuerda paralela $\overline{AB}$ se encuentra sobre $x=10-s.$ La fórmula para una cuerda del círculo de radio $20$ da $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.$ Al elevar al cuadrado se obtiene $s^2-16s-240=0,$ de modo que $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.$ Por lo tanto, $m+n=8+304=312.$

Put the large circle at the origin with $P=(20,0)$ and $Q=(10,0).$ Let the square’s side be $s.$ Because the smaller circle is outside the square, $\overline{CD}$ lies on $x=10$ and the parallel chord $\overline{AB}$ lies on $x=10-s.$ A chord of the radius- $20$ circle then gives $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.$ Squaring yields $s^2-16s-240=0,$ so $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.$ Thus $m+n=8+304=312.$

1994 AIME Problema 2

Respuesta: 312

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años