Question

La sucesión creciente $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ consta de los múltiplos positivos de $3$ que son una unidad menores que un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el residuo cuando el término $1994$ de la sucesión se divide entre $1000$ ?

The increasing sequence $3,$ $15,$ $24,$ $48,$ $\ldots$ consists of those positive multiples of $3$ that are one less than a perfect square. What is the remainder when the $1994$ th term of the sequence is divided by $1000?$

Respuesta

Respuesta: 63

Conceptos:aritmética modular conteo de enteros en un rango cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

El número $k^2-1$ es divisible por $3$ exactamente cuando $k$ no es divisible por $3$

A number $k^2-1$ is divisible by $3$ exactly when $k$ is not divisible by $3$

Pista grande:

Agrupa de dos en dos los valores admisibles de $k$ y luego reduce el cuadrado requerido módulo $1000$

Index the eligible values of $k$ in pairs, then reduce the required square modulo $1000$

Solución:

Los términos son $k^2-1$ para los enteros $k\geq2$ que no son divisibles por $3.$ En cada bloque de tres valores consecutivos de $k$ hay dos admisibles. El término $1994=2\cdot997$ corresponde a $k=3(997)+1=2992.$ Como $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000},$ $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}.\end{aligned}$

The terms are $k^2-1$ for integers $k\geq2$ not divisible by $3.$ In each block of three consecutive $k$ ’s there are two eligible values. The $1994=2\cdot997$ th corresponds to $k=3(997)+1=2992.$ Since $2992\equiv992\equiv-8\pmod {1000},$ $\begin{aligned}k^2-1&\equiv(-8)^2-1\\&\equiv63\pmod {1000}.\end{aligned}$

1994 AIME Problema 1

Respuesta: 63

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años