Question

El cuadrado $S_1$ mide $1\times1.$ Para $i\geq1,$ los lados del cuadrado $S_{i+1}$ miden la mitad que los del cuadrado $S_i,$ dos lados adyacentes de $S_i$ son mediatrices de dos lados adyacentes de $S_{i+1},$ y los otros dos lados de $S_{i+1}$ son mediatrices de dos lados adyacentes de $S_{i+2}.$ El área total encerrada por al menos uno de $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4,$ $S_5$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m-n.$

Square $S_1$ is $1\times1.$ For $i\geq1,$ the lengths of the sides of square $S_{i+1}$ are half the lengths of the sides of square $S_i,$ two adjacent sides of square $S_i$ are perpendicular bisectors of two adjacent sides of square $S_{i+1},$ and the other two sides of square $S_{i+1}$ are the perpendicular bisectors of two adjacent sides of square $S_{i+2}.$ The total area enclosed by at least one of $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4,$ $S_5$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m-n.$

Respuesta

Respuesta: 255

Conceptos:sucesión geométrica área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Cada cuadrado tiene la cuarta parte del área del cuadrado anterior

Each square has one fourth the area of the preceding square

Pista grande:

Dos cuadrados consecutivos se superponen en la cuarta parte del menor, y los interiores de cuadrados no consecutivos no se superponen

Adjacent squares overlap in one fourth of the smaller square, and nonadjacent interiors do not overlap

Solución:

La suma de las áreas de los cinco cuadrados es $\begin{aligned}1+\frac14+\frac1{16}&+\frac1{64}+\frac1{256}\\&=\frac{1364}{1024}.\end{aligned}$ La disposición mediante mediatrices hace que la superposición de cada par consecutivo sea la cuarta parte del cuadrado menor. Estas cuatro superposiciones son disjuntas y tienen área total $\begin{aligned}\frac1{16}+\frac1{64}&+\frac1{256}+\frac1{1024}\\&=\frac{85}{1024}.\end{aligned}$ Por lo tanto, la unión tiene área $\frac{1364-85}{1024}=\frac{1279}{1024},$ y $m-n=1279-1024=255.$

The sum of the five square areas is $\begin{aligned}1+\frac14+\frac1{16}&+\frac1{64}+\frac1{256}\\&=\frac{1364}{1024}.\end{aligned}$ The perpendicular-bisector placement makes the overlap of each adjacent pair one fourth of the smaller square. These four overlaps are disjoint and have total area $\begin{aligned}\frac1{16}+\frac1{64}&+\frac1{256}+\frac1{1024}\\&=\frac{85}{1024}.\end{aligned}$ Thus the union has area $\frac{1364-85}{1024}=\frac{1279}{1024},$ and $m-n=1279-1024=255.$

1995 AIME Problema 1

Respuesta: 255

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años