Question

La sucesión creciente $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ está formada por todos los enteros positivos que no son ni el cuadrado ni el cubo de un entero positivo. Halla el término $500$ de esta sucesión.

The increasing sequence $2,$ $3,$ $5,$ $6,$ $7,$ $10,$ $11,$ $\ldots$ consists of all positive integers that are neither the square nor the cube of a positive integer. Find the $500$ th term of this sequence.

Respuesta

Respuesta: 528

Conceptos:conteo de enteros en un rango inclusión-exclusión cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cuenta los cuadrados y los cubos hasta un extremo candidato mediante inclusión-exclusión

Count squares and cubes up to a candidate endpoint by inclusion-exclusion

Pista grande:

Los números que son a la vez cuadrados y cubos son sextas potencias

Numbers that are both squares and cubes are sixth powers

Solución:

Hasta $529,$ hay $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ cuadrados, $8$ cubos y $2$ sextas potencias contadas en ambos grupos. Por lo tanto, el número de términos permitidos que no superan $529$ es $529-23-8+2=500.$ Pero $529=23^2$ queda excluido, mientras que $528$ no es cuadrado ni cubo. Por consiguiente, el término $500$ es $528.$

Through $529,$ there are $\lfloor\sqrt{529}\rfloor=23$ squares, $8$ cubes, and $2$ sixth powers counted in both groups. Thus the number of allowed terms at most $529$ is $529-23-8+2=500.$ But $529=23^2$ is excluded, while $528$ is neither a square nor a cube. Therefore the $500$ th term is $528.$

1990 AIME Problema 1

Respuesta: 528

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años