Question

Una cerradura comercial de diez botones se abre al presionar, en cualquier orden, los cinco botones correctos. Un ejemplo tiene $\{1,2,3,6,9\}$ como combinación. Supón que estas cerraduras se rediseñan para permitir como combinaciones conjuntos de entre uno y nueve botones. ¿Cuántas combinaciones adicionales permitiría esto?

One commercially available ten-button lock may be opened by depressing—in any order—the correct five buttons. One sample has $\{1,2,3,6,9\}$ as its combination. Suppose that these locks are redesigned so that sets of as many as nine buttons or as few as one button could serve as combinations. How many additional combinations would this allow?

Respuesta

Respuesta: 770

Conceptos:combinaciones subconjuntos conteo complementario

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Cuenta todos los subconjuntos propios no vacíos de los diez botones

Count all nonempty proper subsets of the ten buttons

Pista grande:

Resta las combinaciones de cinco botones que el diseño original ya permitía

Subtract the five-button combinations that the original design already allowed

Solución:

La cerradura rediseñada permite todo subconjunto no vacío salvo el conjunto completo, lo que da $2^{10}-2=1022$ combinaciones. La cerradura original permite $\binom{10}{5}=252.$ Por tanto, la cantidad de combinaciones adicionales es $1022-252=770.$

The redesigned lock permits every nonempty subset except the full set, giving $2^{10}-2=1022$ combinations. The original lock permits $\binom{10}{5}=252.$ Thus the number of additional combinations is $1022-252=770.$

1988 AIME Problema 1

Respuesta: 770

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 1 en otros años