Question

Para todo entero positivo $k,$ sea $f_1(k)$ el cuadrado de la suma de las cifras de $k.$ Para $n\geq2,$ sea $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Halla $f_{1988}(11).$

For any positive integer $k,$ let $f_1(k)$ denote the square of the sum of the digits of $k.$ For $n\geq2,$ let $f_n(k)=f_1(f_{n-1}(k)).$ Find $f_{1988}(11).$

Respuesta

Respuesta: 169

Conceptos:dígitos recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Calcula las primeras iteraciones hasta que se repita un valor

Compute the first several iterates until a value repeats

Pista grande:

Después de los valores transitorios, la sucesión alterna entre dos números

After the transient values, the sequence alternates between two numbers

Solución:

Las iteraciones comienzan con $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ seguidos por $169,$ $256,$ $\ldots.$ Por tanto, desde la cuarta iteración, los índices pares dan $169$ y los impares dan $256.$ Como $1988$ es par, $f_{1988}(11)=169.$

The iterates begin $4,$ $16,$ $49,$ $169,$ $256,$ followed by $169,$ $256,$ $\ldots.$ Thus from the fourth iterate onward, even indices give $169$ and odd indices give $256.$ Since $1988$ is even, $f_{1988}(11)=169.$

1988 AIME Problema 2

Respuesta: 169

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años