Question

Sea $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ donde $0<p<15.$ Determina el valor mínimo que toma $f(x)$ para $x$ en el intervalo $p\leq x\leq15.$

Let $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ where $0<p<15.$ Determine the minimum value taken by $f(x)$ for $x$ in the interval $p\leq x\leq15.$

Respuesta

Respuesta: 15

Conceptos:valor absoluto optimización

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Determina el signo de cada expresión dentro de un valor absoluto en el intervalo dado

Determine the sign of each expression inside an absolute value on the given interval

Pista grande:

En $p\leq x\leq15,$ simplifica $f(x)$ a una función lineal decreciente

On $p\leq x\leq15,$ simplify $f(x)$ to a decreasing linear function

Solución:

Como $p\leq x\leq15,$ tenemos $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}$ Por consiguiente, $f(x)=30-x.$ Esto se minimiza en el extremo derecho $x=15,$ donde su valor es $15.$

Since $p\leq x\leq15,$ we have $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}$ Hence $f(x)=30-x.$ This is minimized at the right endpoint $x=15,$ where its value is $15.$

1983 AIME Problema 2

Respuesta: 15

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años