Question

¿Cuántas ternas ordenadas $(a, b, c)$ hay tales que $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $a$ es divisor de $b,$ $a$ es divisor de $c,$ y $a + b + c = 100$ ?

Find the number of ordered triples $(a, b, c)$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ is a factor of $b,$ $a$ is a factor of $c,$ and $a + b + c = 100.$

Respuesta

Respuesta: 200

Conceptos:divisibilidad Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Como $a$ divide tanto a $b$ como a $c,$ debe dividir a $a + b + c = 100$ .

Since $a$ divides both $b$ and $c,$ it must divide $a + b + c = 100$

Pista grande:

Escribe $b = as$ y $c = at:$ entonces $s + t = \frac{100}{a} - 1,$ que tiene $\frac{100}{a} - 2$ soluciones positivas.

Write $b = as$ and $c = at:$ then $s + t = \frac{100}{a} - 1,$ which has $\frac{100}{a} - 2$ positive solutions

Solución:

Como $a$ divide a $b$ y a $c,$ divide a $a + b + c = 100.$ Escribe $b = as$ y $c = at$ con $s, t \ge 1;$ entonces $a(1 + s + t) = 100,$ así que $s + t = \frac{100}{a} - 1.$ Para $s$ y $t$ positivos necesitamos $\frac{100}{a} \ge 3,$ por lo que $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

Para cada tal $a,$ la ecuación $s + t = \frac{100}{a} - 1$ tiene $\frac{100}{a} - 2$ soluciones ordenadas positivas. Sumando, $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}$

Since $a$ divides $b$ and $c,$ it divides $a + b + c = 100.$ Write $b = as$ and $c = at$ with $s, t \ge 1;$ then $a(1 + s + t) = 100,$ so $s + t = \frac{100}{a} - 1.$ For positive $s$ and $t$ we need $\frac{100}{a} \ge 3,$ so $a \in \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25\}.$

For each such $a,$ the equation $s + t = \frac{100}{a} - 1$ has $\frac{100}{a} - 2$ ordered positive solutions. Summing, $\begin{aligned} &\small (100 + 50 + 25 + 20 + 10 + 5 + 4) \\ &\quad {}- 2 \cdot 7 \\ &= 214 - 14 = 200. \end{aligned}$

2007 AIME II Problema 2

Respuesta: 200

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años