Question

En $\triangle ABC$ los puntos $A,$ $D,$ $E,$ y $B$ están en ese orden sobre el lado $\overline{AB}$ con $AD = 4,$ $DE = 16,$ y $EB = 8.$ Los puntos $A,$ $F,$ $G,$ y $C$ están en ese orden sobre el lado $\overline{AC}$ con $AF = 13,$ $FG = 52,$ y $GC = 26.$ Sea $M$ la reflexión de $D$ respecto a $F,$ y sea $N$ la reflexión de $G$ respecto a $E.$ El cuadrilátero $DEGF$ tiene área $288.$ Halle el área del heptágono $AFNBCEM.$

On $\triangle ABC$ points $A,$ $D,$ $E,$ and $B$ lie in that order on side $\overline{AB}$ with $AD = 4,$ $DE = 16,$ and $EB = 8.$ Points $A,$ $F,$ $G,$ and $C$ lie in that order on side $\overline{AC}$ with $AF = 13,$ $FG = 52,$ and $GC = 26.$ Let $M$ be the reflection of $D$ through $F,$ and let $N$ be the reflection of $G$ through $E.$ Quadrilateral $DEGF$ has area $288.$ Find the area of heptagon $AFNBCEM.$

Respuesta

Solución:

Aquí $AB = 4 + 16 + 8 = 28$ y $AC = 13 + 52 + 26 = 91,$ así que $D$ y $F$ están a $\frac{1}{7}$ del camino desde $A$ sobre sus lados, mientras que $E$ y $G$ están a $\frac{5}{7}$ del camino. Los triángulos que comparten el ángulo $A$ tienen áreas proporcionales a los productos de los lados adyacentes, así que $[ADF] = \frac{1}{49}[ABC]$ y $[AEG] = \frac{25}{49}[ABC].$ Por lo tanto $\begin{aligned} [DEGF] &= [AEG] - [ADF] \\ &= \frac{24}{49}[ABC] = 288, \end{aligned}$ lo que da $[ABC] = 588.$

Ahora sea $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ y $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC},$ de modo que $D = \frac{1}{7}\mathbf{b},$ $E = \frac{5}{7}\mathbf{b},$ $F = \frac{1}{7}\mathbf{c},$ $G = \frac{5}{7}\mathbf{c},$ y las reflexiones son $M = 2F - D = \frac{1}{7}(2\mathbf{c} - \mathbf{b})$ y $N = 2E - G = \frac{1}{7}(10\mathbf{b} - 5\mathbf{c}).$ La fórmula del cordón de zapato para $AFNBCEM$ suma los productos cruzados de vértices consecutivos: los dos términos en $A$ se anulan, y $\begin{aligned} F \times N &= -\tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ N \times B &= \tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ B \times C &= \mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ C \times E &= -\tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ E \times M &= \tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}. \end{aligned}$

Todo se cancela excepto el único término $\mathbf{b} \times \mathbf{c},$ así que el área del heptágono es $\frac{1}{2}\left|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right| = [ABC] = 588.$

Here $AB = 4 + 16 + 8 = 28$ and $AC = 13 + 52 + 26 = 91,$ so $D$ and $F$ lie $\frac{1}{7}$ of the way from $A$ along their sides while $E$ and $G$ lie $\frac{5}{7}$ of the way. Triangles sharing angle $A$ have areas proportional to the products of the adjacent sides, so $[ADF] = \frac{1}{49}[ABC]$ and $[AEG] = \frac{25}{49}[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} [DEGF] &= [AEG] - [ADF] \\ &= \frac{24}{49}[ABC] = 288, \end{aligned}$ which gives $[ABC] = 588.$

Now set $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ and $\mathbf{c} = \overrightarrow{AC},$ so that $D = \frac{1}{7}\mathbf{b},$ $E = \frac{5}{7}\mathbf{b},$ $F = \frac{1}{7}\mathbf{c},$ $G = \frac{5}{7}\mathbf{c},$ and the reflections are $M = 2F - D = \frac{1}{7}(2\mathbf{c} - \mathbf{b})$ and $N = 2E - G = \frac{1}{7}(10\mathbf{b} - 5\mathbf{c}).$ The shoelace formula for $AFNBCEM$ sums cross products of consecutive vertices: the two terms at $A$ vanish, and $\begin{aligned} F \times N &= -\tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ N \times B &= \tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ B \times C &= \mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ C \times E &= -\tfrac{5}{7}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}, \\ E \times M &= \tfrac{10}{49}\,\mathbf{b} \times \mathbf{c}. \end{aligned}$

Everything cancels except the single term $\mathbf{b} \times \mathbf{c},$ so the heptagon's area is $\frac{1}{2}\left|\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right| = [ABC] = 588.$

2025 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años