Question

Los nueve delegados de la Conferencia de Cooperación Económica incluyen $2$ funcionarios de México, $3$ funcionarios de Canadá y $4$ funcionarios de los Estados Unidos. Durante la sesión inaugural, tres de los delegados se quedan dormidos. Suponiendo que los tres delegados que se durmieron fueron elegidos al azar, la probabilidad de que exactamente dos de ellos sean del mismo país es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The nine delegates to the Economic Cooperation Conference include $2$ officials from Mexico, $3$ officials from Canada, and $4$ officials from the United States. During the opening session, three of the delegates fall asleep. Assuming that the three sleepers were determined randomly, the probability that exactly two of the sleepers are from the same country is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 139

Conceptos:probabilidad básica combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Todos los $\binom{9}{3}$ grupos de tres delegados dormidos son igualmente probables; cuenta los favorables según qué país aporta la pareja

All $\binom{9}{3}$ sleeper triples are equally likely; count the favorable ones by which country supplies the pair

Pista grande:

Exactamente dos de un país con $s$ delegados significa $\binom{s}{2}$ opciones para la pareja por $9 - s$ opciones para el tercer delegado

Exactly two from a country of size $s$ means $\binom{s}{2}$ choices for the pair times $9 - s$ choices for the third sleeper

Solución:

Hay $\binom{9}{3} = 84$ conjuntos igualmente probables de tres delegados dormidos. Exactamente dos provienen del mismo país cuando un país aporta exactamente dos de ellos y el tercer delegado proviene de un país distinto: $\binom{4}{2}(2 + 3) = 30$ maneras con la pareja de los Estados Unidos, $\binom{3}{2}(2 + 4) = 18$ con la pareja de Canadá y $\binom{2}{2}(3 + 4) = 7$ con la pareja de México.

La probabilidad es $\frac{30 + 18 + 7}{84} = \frac{55}{84},$ ya en su forma más simple, así que $m + n = 55 + 84 = 139.$

There are $\binom{9}{3} = 84$ equally likely sets of three sleepers. Exactly two sleepers come from the same country when one country supplies exactly two of them and the third sleeper comes from a different country: $\binom{4}{2}(2 + 3) = 30$ ways with the pair from the United States, $\binom{3}{2}(2 + 4) = 18$ with the pair from Canada, and $\binom{2}{2}(3 + 4) = 7$ with the pair from Mexico.

The probability is $\frac{30 + 18 + 7}{84} = \frac{55}{84},$ already in lowest terms, so $m + n = 55 + 84 = 139.$

2015 AIME I Problema 2

Respuesta: 139

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años