Question

Halla el entero positivo de tres dígitos $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ cuya representación en base nueve es $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}_{\,\text{nine}},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son dígitos (no necesariamente distintos).

Find the three-digit positive integer $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ whose representation in base nine is $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}_{\,\text{nine}},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits.

Respuesta

Solución:

La condición dice $100a + 10b + c = 81b + 9c + a,$ que se simplifica a $99a = 71b + 8c.$ Como los dígitos también aparecen en un numeral en base nueve, cada uno es a lo sumo $8.$ Reduciendo módulo $8$ se obtiene $3a \equiv -b \pmod 8,$ así que $b \equiv 5a \pmod 8.$

Para $a = 1,$ $b = 5$ hace que $71b$ supere $99;$ para $a = 2,$ $b = 2$ da $8c = 198 - 142 = 56,$ así que $c = 7.$ Para cada $a \ge 3,$ el $b$ requerido obliga a que $99a - 71b$ quede fuera del rango $[0, 64],$ así que no hay otra solución.

El número es $227,$ y en efecto $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_{\text{nine}}.$

The condition says $100a + 10b + c = 81b + 9c + a,$ which simplifies to $99a = 71b + 8c.$ Since the digits also appear in a base-nine numeral, each is at most $8.$ Reducing modulo $8$ gives $3a \equiv -b \pmod 8,$ so $b \equiv 5a \pmod 8.$

For $a = 1,$ $b = 5$ makes $71b$ exceed $99;$ for $a = 2,$ $b = 2$ gives $8c = 198 - 142 = 56,$ so $c = 7.$ For each $a \ge 3,$ the required $b$ forces $99a - 71b$ outside the range $[0, 64],$ so there is no other solution.

The number is $227,$ and indeed $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_{\text{nine}}.$

2022 AIME I Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años