Question

Halla el entero positivo de tres dígitos

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}

cuya representación en base nueve es

\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},

donde

a,

b,

y

c

son dígitos (no necesariamente distintos).

Find the three-digit positive integer

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}

whose representation in base nine is

\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},

where

a,

b,

and

c

are (not necessarily distinct) digits.

Respuesta

Respuesta: 227

Conceptos:base numérica dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe la condición como

100a + 10b + c = 81b + 9c + a

y simplifica

Write the condition as

100a + 10b + c = 81b + 9c + a

and simplify

Pista grande:

A partir de

99a = 71b + 8c,

reduce módulo

8

para determinar

b

en términos de

a,

y luego prueba valores pequeños de

a.

From

99a = 71b + 8c,

reduce modulo

8

to pin down

b

in terms of

a,

then test small values of

a.

Solución:

La condición dice

100a + 10b + c = 81b + 9c + a,

que se simplifica a

99a = 71b + 8c.

Como los dígitos también aparecen en un numeral en base nueve, cada uno es a lo sumo

8.

Reduciendo módulo

8

se obtiene

3a \equiv -b \pmod 8,

así que

b \equiv 5a \pmod 8.

Para

a = 1,

b = 5

hace que

71b

supere

99;

para

a = 2,

b = 2

da

8c = 198 - 142 = 56,

así que

c = 7.

Para cada

a \ge 3,

el

b

requerido obliga a que

99a - 71b

quede fuera del rango

[0, 64],

así que no hay otra solución.

El número es

227,

y en efecto

227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2

= 272_9.

The condition says

100a + 10b + c = 81b + 9c + a,

which simplifies to

99a = 71b + 8c.

Since the digits also appear in a base-nine numeral, each is at most

8.

Reducing modulo

8

gives

3a \equiv -b \pmod 8,

so

b \equiv 5a \pmod 8.

For

a = 1,

b = 5

makes

71b

exceed

99;

for

a = 2,

b = 2

gives

8c = 198 - 142 = 56,

so

c = 7.

For each

a \ge 3,

the required

b

forces

99a - 71b

outside the range

[0, 64],

so there is no other solution.

The number is

227,

and indeed

227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2

= 272_9.

2022 AIME I Problema 2

Respuesta: 227

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años