Question

Las nueve líneas horizontales y nueve líneas verticales de un tablero $8 \times 8$ forman $r$ rectángulos, de los cuales $s$ son cuadrados. El número $s/r$ se puede escribir en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The nine horizontal and nine vertical lines on an $8 \times 8$ checkerboard form $r$ rectangles, of which $s$ are squares. The number $s/r$ can be written in the form $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Un rectángulo queda determinado al elegir dos de las nueve líneas horizontales y dos de las nueve líneas verticales, así que $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.$

Un cuadrado $k \times k$ se puede colocar en $(9 - k)^2$ posiciones, así que $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

Entonces $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},$ que ya está en su forma más simple, así que $m + n = 17 + 108 = 125.$

A rectangle is determined by choosing two of the nine horizontal lines and two of the nine vertical lines, so $r = \binom{9}{2}^2 = 36^2 = 1296.$

A $k \times k$ square can be placed in $(9 - k)^2$ positions, so $\begin{aligned} s &= \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 \\ &= 8^2 + 7^2 + \cdots + 1^2 \\ &= \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204. \end{aligned}$

Then $\frac{s}{r} = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108},$ which is in lowest terms, so $m + n = 17 + 108 = 125.$

1997 AIME Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años