Question

El triángulo equilátero $ABC$ tiene longitud de lado $840$ . El punto $D$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$ , de modo que $\overline{BD} \perp \overline{BC}$ . La recta $\ell$ que pasa por $D$ paralela a la recta $BC$ corta a los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. El punto $G$ está sobre $\ell$ de modo que $F$ queda entre $E$ y $G$ , $\triangle AFG$ es isósceles, y la razón entre el área de $\triangle AFG$ y el área de $\triangle BED$ es $8 : 9$ . Halle $AF$ .

Equilateral triangle $ABC$ has side length $840.$ Point $D$ lies on the same side of line $BC$ as $A$ such that $\overline{BD} \perp \overline{BC}.$ The line $\ell$ through $D$ parallel to line $BC$ intersects sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ at points $E$ and $F,$ respectively. Point $G$ lies on $\ell$ such that $F$ is between $E$ and $G,$ $\triangle AFG$ is isosceles, and the ratio of the area of $\triangle AFG$ to the area of $\triangle BED$ is $8 : 9.$ Find $AF.$

Respuesta

Solución:

Como $\ell \parallel BC$ , el triángulo $AEF$ es equilátero; sea $s = AF = EF$ . La distancia entre $\ell$ y $BC$ es la altura de $ABC$ menos la altura de $AEF$ , de modo que $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ ; escribimos $h = BD$ .

En el triángulo $BED$ , la base $\overline{BD}$ es perpendicular a $BC$ y tiene longitud $h$ , mientras que $E$ está a distancia horizontal $\frac{h}{\sqrt{3}}$ de la recta $BD$ porque $\angle EBC = 60^\circ$ . Por lo tanto $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}$ . Además $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ$ , y un triángulo isósceles con un ángulo de $120^\circ$ debe tenerlo como ángulo del vértice, así que $FA = FG = s$ y $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ .

La condición de la razón da $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\sqrt{3}s^2/4}{h^2/(2\sqrt{3})} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$ de modo que $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ . Sustituyendo $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ se obtiene $s = \frac{2}{3}(840 - s)$ , así que $5s = 1680$ y $AF = 336$ .

Since $\ell \parallel BC,$ triangle $AEF$ is equilateral; let $s = AF = EF.$ The distance between $\ell$ and $BC$ is the height of $ABC$ minus the height of $AEF,$ so $BD = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s);$ write $h = BD.$

In triangle $BED,$ the base $\overline{BD}$ is perpendicular to $BC$ and has length $h,$ while $E$ lies at horizontal distance $\frac{h}{\sqrt{3}}$ from line $BD$ because $\angle EBC = 60^\circ.$ Hence $[BED] = \frac{h^2}{2\sqrt{3}}.$ Also $\angle AFG = 180^\circ - \angle AFE$ $= 120^\circ,$ and an isosceles triangle with a $120^\circ$ angle must have it as the apex angle, so $FA = FG = s$ and $[AFG] = \frac{1}{2}s^2 \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2.$

The ratio condition gives $\begin{aligned} \frac{[AFG]}{[BED]} &= \frac{\sqrt{3}s^2/4}{h^2/(2\sqrt{3})} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{s^2}{h^2} = \frac{8}{9}, \end{aligned}$ so $\frac{s}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}}.$ Substituting $h = \frac{\sqrt{3}}{2}(840 - s)$ yields $s = \frac{2}{3}(840 - s),$ so $5s = 1680$ and $AF = 336.$

2021 AIME II Problema 2

Solución:

El Problema 2 en otros años