Question

Halle el número de permutaciones $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ de los números $1, 2, 3, 4, 5$ tales que la suma de cinco productos $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 \\ &\quad {}+ x_5x_1x_2 \end{aligned}$ sea divisible por $3$ .

Find the number of permutations $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ of numbers $1, 2, 3, 4, 5$ such that the sum of five products $\begin{aligned} &x_1x_2x_3 + x_2x_3x_4 \\ &\quad {}+ x_3x_4x_5 + x_4x_5x_1 \\ &\quad {}+ x_5x_1x_2 \end{aligned}$ is divisible by $3.$

Respuesta

Solución:

Trabajamos módulo $3$ . El valor $3$ es el único múltiplo de $3$ , y cada uno de los cinco productos cubre tres posiciones cíclicamente consecutivas, así que si $x_i = 3$ , exactamente dos productos evitan la posición $i$ : los que cubren las posiciones $i+1, i+2, i+3$ y $i+2, i+3, i+4$ (índices módulo $5$ ). Su suma es $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4})$ , y como $x_{i+2}x_{i+3}$ no es divisible por $3$ , la condición es $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3$ .

Entre los valores restantes, $1$ y $4$ son $\equiv 1$ , mientras que $2$ y $5$ son $\equiv 2 \pmod 3$ , así que las posiciones $i+1$ y $i+4$ deben tomar un valor de cada clase: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ elecciones ordenadas. Los otros dos valores llenan las posiciones $i+2$ y $i+3$ de $2$ maneras. Con $5$ elecciones para la posición del $3$ , el conteo es $5 \cdot 8 \cdot 2 = 80$ .

Work modulo $3.$ The value $3$ is the only multiple of $3,$ and each of the five products covers three cyclically consecutive positions, so if $x_i = 3$ exactly two products avoid position $i:$ those covering positions $i+1, i+2, i+3$ and $i+2, i+3, i+4$ (indices mod $5$ ). Their sum is $x_{i+2}x_{i+3}(x_{i+1} + x_{i+4}),$ and since $x_{i+2}x_{i+3}$ is not divisible by $3,$ the condition is $x_{i+1} + x_{i+4} \equiv 0 \pmod 3.$

Among the remaining values, $1$ and $4$ are $\equiv 1$ while $2$ and $5$ are $\equiv 2 \pmod 3,$ so positions $i+1$ and $i+4$ must take one value from each class: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ ordered choices. The other two values fill positions $i+2$ and $i+3$ in $2$ ways. With $5$ choices for the position of $3,$ the count is $5 \cdot 8 \cdot 2 = 80.$

2021 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años