Question

Sea $L$ la recta de pendiente $\frac{5}{12}$ que contiene al punto $A = (24, -1),$ y sea $M$ la recta perpendicular a la recta $L$ que contiene al punto $B = (5, 6).$ Se borran los ejes de coordenadas originales, y la recta $L$ se toma como eje $x$ y la recta $M$ como eje $y$ . En el nuevo sistema de coordenadas, el punto $A$ está en el semieje $x$ positivo, y el punto $B$ está en el semieje $y$ positivo. El punto $P$ con coordenadas $(-14, 27)$ en el sistema original tiene coordenadas $(\alpha, \beta)$ en el nuevo sistema de coordenadas. Halla $\alpha + \beta.$

Let $L$ be the line with slope $\frac{5}{12}$ that contains the point $A = (24, -1),$ and let $M$ be the line perpendicular to line $L$ that contains the point $B = (5, 6).$ The original coordinate axes are erased, and line $L$ is made the $x$ -axis and line $M$ the $y$ -axis. In the new coordinate system, point $A$ is on the positive $x$ -axis, and point $B$ is on the positive $y$ -axis. The point $P$ with coordinates $(-14, 27)$ in the original system has coordinates $(\alpha, \beta)$ in the new coordinate system. Find $\alpha + \beta.$

Respuesta

Solución:

La recta $L$ es $5x - 12y - 132 = 0$ y la recta $M$ es $12x + 5y - 90 = 0.$ La nueva coordenada $x$ de un punto es su distancia con signo a la recta $M,$ contada como positiva en el lado que contiene a $A,$ y la nueva coordenada $y$ es su distancia con signo a la recta $L,$ positiva en el lado que contiene a $B.$

Sustituyendo $P = (-14, 27)$ en $12x + 5y - 90$ se obtiene $-168 + 135 - 90 = -123,$ mientras que $A$ da $193 \gt 0;$ dividiendo entre $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,$ obtenemos $\alpha = -\frac{123}{13}.$ Sustituyendo $P$ en $5x - 12y - 132$ se obtiene $-70 - 324 - 132 = -526,$ y $B$ da $-179,$ así que $P$ está del mismo lado de $L$ que $B$ y $\beta = \frac{526}{13}.$

Por lo tanto, $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.$

Line $L$ is $5x - 12y - 132 = 0$ and line $M$ is $12x + 5y - 90 = 0.$ The new $x$ -coordinate of a point is its signed distance to line $M,$ counted positive on the side containing $A,$ and the new $y$ -coordinate is its signed distance to line $L,$ positive on the side containing $B.$

Substituting $P = (-14, 27)$ into $12x + 5y - 90$ gives $-168 + 135 - 90 = -123,$ while $A$ gives $193 \gt 0;$ dividing by $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13,$ we get $\alpha = -\frac{123}{13}.$ Substituting $P$ into $5x - 12y - 132$ gives $-70 - 324 - 132 = -526,$ and $B$ gives $-179,$ so $P$ lies on the same side of $L$ as $B$ and $\beta = \frac{526}{13}.$

Therefore $\alpha + \beta = \frac{-123 + 526}{13} = \frac{403}{13} = 31.$

2011 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años