Question

El valor de

x

que satisface

\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}

se puede escribir como

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

The value of

x

that satisfies

\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 103

Conceptos:logaritmo ecuación racional

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Cambio de base:

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2},

y de manera similar para el lado derecho

Change of base:

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2},

and similarly for the right side

Pista grande:

La ecuación se reduce a

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3},

que es lineal en

x

The equation reduces to

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3},

which is linear in

x

Solución:

Por la fórmula del cambio de base,

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}

y

\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.

Al cancelar el factor común

\frac{\log 3}{\log 2}

queda

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.

Multiplicando en cruz se obtiene

20x + 60 = 2020x,

de modo que

2000x = 60

y

x = \frac{3}{100}.

Así,

m + n = 3 + 100 = 103.

By the change-of-base formula,

\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}

and

\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.

Cancelling the common factor

\frac{\log 3}{\log 2}

leaves

\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.

Cross-multiplying gives

20x + 60 = 2020x,

so

2000x = 60

and

x = \frac{3}{100}.

Thus

m + n = 3 + 100 = 103.

2020 AIME II Problema 3

Respuesta: 103

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años