Question

El valor de $x$ que satisface $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

The value of $x$ that satisfies $\log_{2^x} 3^{20} = \log_{2^{x+3}} 3^{2020}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por la fórmula del cambio de base, $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ y $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.$ Al cancelar el factor común $\frac{\log 3}{\log 2}$ queda $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.$

Multiplicando en cruz se obtiene $20x + 60 = 2020x,$ de modo que $2000x = 60$ y $x = \frac{3}{100}.$ Así, $m + n = 3 + 100 = 103.$

By the change-of-base formula, $\log_{2^x} 3^{20} = \frac{20 \log 3}{x \log 2}$ and $\log_{2^{x+3}} 3^{2020} = \frac{2020 \log 3}{(x + 3) \log 2}.$ Cancelling the common factor $\frac{\log 3}{\log 2}$ leaves $\frac{20}{x} = \frac{2020}{x + 3}.$

Cross-multiplying gives $20x + 60 = 2020x,$ so $2000x = 60$ and $x = \frac{3}{100}.$ Thus $m + n = 3 + 100 = 103.$

2020 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años