Question

Halla el menor entero positivo $n$ para el cual la expansión de $(xy-3x+7y-21)^n,$ después de reducir términos semejantes, tiene al menos $1996$ términos.

Find the smallest positive integer $n$ for which the expansion of $(xy-3x+7y-21)^n,$ after like terms have been collected, has at least $1996$ terms.

Respuesta

Respuesta: 44

Conceptos:factorización teorema del binomio conteo de pares

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Factoriza la expresión antes de elevarla a la $n$ -ésima potencia

Factor the expression before raising it to the $n$ th power

Pista grande:

Cuenta las distintas elecciones de los exponentes de $x$ y $y$

Count the distinct choices of the exponents of $x$ and $y$

Solución:

La base se factoriza como $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Por tanto, su $n$ -ésima potencia es $(x+7)^n(y-3)^n.$ Cada exponente de $x$ desde $0$ hasta $n$ puede aparecer con cada exponente de $y$ desde $0$ hasta $n,$ y todos los coeficientes resultantes son distintos de cero. Así, hay $(n+1)^2$ términos. Como $44^2<1996\leq45^2,$ el menor valor posible de $n+1$ es $45,$ por lo que $n=44.$

The base factors as $\begin{gathered}xy-3x+7y-21\\=(x+7)(y-3).\end{gathered}$ Hence its $n$ th power is $(x+7)^n(y-3)^n.$ Each exponent of $x$ from $0$ through $n$ can occur with each exponent of $y$ from $0$ through $n,$ and every resulting coefficient is nonzero. Thus there are $(n+1)^2$ terms. Since $44^2<1996\leq45^2,$ the least possible $n+1$ is $45,$ so $n=44.$

1996 AIME Problema 3

Respuesta: 44

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años