Question

Un cubo de madera cuyas aristas miden un centímetro descansa sobre una superficie horizontal. Iluminado por una fuente puntual situada $x$ centímetros directamente por encima de un vértice superior, el cubo proyecta una sombra sobre la superficie horizontal. El área de la sombra, sin incluir el área debajo del cubo, es de $48$ centímetros cuadrados. Halla el mayor entero que no excede a $1000x.$

A wooden cube, whose edges are one centimeter long, rests on a horizontal surface. Illuminated by a point source of light that is $x$ centimeters directly above an upper vertex, the cube casts a shadow on the horizontal surface. The area of the shadow, which does not include the area beneath the cube, is $48$ square centimeters. Find the greatest integer that does not exceed $1000x.$

Respuesta

Respuesta: 166

Conceptos:geometría del cubo semejanza área

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Proyecta la cara superior del cubo sobre la superficie horizontal desde la fuente de luz

Project the cube’s upper face onto the horizontal surface from the light source

Pista grande:

Por semejanza, el lado de la proyección mide $\frac{x+1}{x}$

Similar triangles give the projected side length as $\frac{x+1}{x}$

Solución:

La fuente de luz está a $x+1$ centímetros sobre la superficie y a $x$ centímetros sobre la cara superior del cubo. Por semejanza, la proyección de esa cara cuadrada unitaria es un cuadrado de lado $\frac{x+1}{x}.$ Este cuadrado contiene el área cuadrada unitaria debajo del cubo, así que $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Por tanto, $\frac{x+1}{x}=7,$ lo que da $x=\frac{1}{6}.$ El mayor entero que no excede a $1000x=166\frac23$ es $166.$

The light is $x+1$ centimeters above the surface and $x$ centimeters above the cube’s top face. By similarity, the projection of that unit-square face is a square of side $\frac{x+1}{x}.$ This square contains the unit-square area beneath the cube, so $\left(\frac{x+1}{x}\right)^2-1=48.$ Therefore $\frac{x+1}{x}=7,$ giving $x=\frac{1}{6}.$ The greatest integer not exceeding $1000x=166\frac23$ is $166.$

1996 AIME Problema 4

Respuesta: 166

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años