Question

Sea $S$ una lista de enteros positivos, no necesariamente distintos, en la que aparece el número $68$ . El promedio (media aritmética) de los números de $S$ es $56.$ Sin embargo, si se elimina $68$ , el promedio de los números restantes baja a $55.$ ¿Cuál es el mayor número que puede aparecer en $S$ ?

Let $S$ be a list of positive integers—not necessarily distinct—in which the number $68$ appears. The average (arithmetic mean) of the numbers in $S$ is $56.$ However, if $68$ is removed, the average of the remaining numbers drops to $55.$ What is the largest number that can appear in $S?$

Respuesta

Respuesta: 649

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sea $N$ el número de elementos de la lista original

Let $N$ be the number of entries in the original list

Pista grande:

Para maximizar un elemento, haz que cada entero positivo sin restricción sea lo más pequeño posible

To maximize one entry, make every unrestricted positive integer as small as possible

Solución:

Si la lista original tiene $N$ elementos, entonces $56N-68=55(N-1),$ de modo que $N=13$ y la suma de los elementos es $56\cdot13=728.$ Además del elemento $68,$ hacemos que once elementos sean iguales al menor entero positivo, $1.$ El elemento restante es entonces $728-68-11=649.$ Esta construcción es válida y ningún elemento mayor es posible.

If the original list has $N$ entries, then $56N-68=55(N-1),$ so $N=13$ and the total of the entries is $56\cdot13=728.$ Besides the entry $68,$ make eleven entries equal to the least positive integer, $1.$ The remaining entry is then $728-68-11=649.$ This construction is valid, and no larger entry is possible.

1984 AIME Problema 4

Respuesta: 649

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años