Question

Se construye un cuadrado pequeño dentro de un cuadrado de área $1$ dividiendo cada lado del cuadrado unitario en $n$ partes iguales y uniendo después cada vértice con el punto de división más cercano al vértice opuesto, como se muestra. Halla el valor de $n$ si el área del cuadrado pequeño (sombreado en la figura) es exactamente $\frac1{1985}.$

A small square is constructed inside a square of area $1$ by dividing each side of the unit square into $n$ equal parts, and then connecting the vertices to the division points closest to the opposite vertices, as shown. Find the value of $n$ if the area of the small square (shaded in the figure) is exactly $\frac1{1985}.$

Respuesta

Respuesta: 32

Conceptos:cuadrado (geometría)fórmula de la distancia cuadrática

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Coloca el cuadrado unitario en un plano de coordenadas y escribe las ecuaciones de dos rectas paralelas de la construcción

Place the unit square on a coordinate plane and write equations for two parallel construction lines

Pista grande:

La distancia entre las rectas paralelas es la longitud del lado del cuadrado pequeño

The distance between the parallel lines is the side length of the small square

Solución:

Sitúa los vértices del cuadrado exterior en $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ Un par de rectas de la construcción tiene ecuaciones $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ El otro par es perpendicular al primero, y ambos pares tienen la misma separación. Así, el cuadrado interior tiene lado $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ y área $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Por tanto, $n^2+(n-1)^2=1985,$ o bien $n^2-n-992=0.$ Su raíz positiva es $n=\frac{1+63}{2}=32.$

Put the outer square at $(0,0),$ $(1,0),$ $(1,1),$ $(0,1).$ One pair of construction lines has equations $\begin{aligned} nx-(n-1)y&=0,\\ nx-(n-1)y&=1. \end{aligned}$ The other pair is perpendicular to this pair, and the two pairs have the same separation. Thus the inner square has side length $\frac1{\sqrt{n^2+(n-1)^2}}$ and area $\frac{1}{n^2+(n-1)^2}.$ Hence $n^2+(n-1)^2=1985,$ or $n^2-n-992=0.$ Its positive root is $n=\frac{1+63}{2}=32.$

1985 AIME Problema 4

Respuesta: 32

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años