Question

Se elige una sucesión de enteros $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ tal que $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ para cada $n\geq3.$ ¿Cuál es la suma de los primeros $2001$ términos si la suma de los primeros $1492$ términos es $1985,$ y la suma de los primeros $1985$ términos es $1492$ ?

A sequence of integers $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ is chosen so that $a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$ for each $n\geq3.$ What is the sum of the first $2001$ terms of this sequence if the sum of the first $1492$ terms is $1985,$ and the sum of the first $1985$ terms is $1492?$

Respuesta

Respuesta: 986

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe los primeros seis términos en función de $a_1$ y $a_2$

Write the first six terms in terms of $a_1$ and $a_2$

Pista grande:

La sucesión se repite cada seis términos, y cada bloque de seis suma $0$

The sequence repeats every six terms, and each six-term block has sum $0$

Solución:

Sean $a_1=x$ y $a_2=y.$ Los primeros seis términos son $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ tras lo cual la sucesión se repite; estos seis términos suman $0.$ Como $1492\equiv4\pmod6$ y $1985\equiv5\pmod6,$ las ecuaciones dadas son $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Por tanto, $y=493.$ Como $2001\equiv3\pmod6,$ la suma pedida es $x+y+(y-x)=2y=986.$

Put $a_1=x$ and $a_2=y.$ The first six terms are $x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,$ after which the sequence repeats; these six terms sum to $0.$ Since $1492\equiv4\pmod6$ and $1985\equiv5\pmod6,$ the given equations are $\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}$ Thus $y=493.$ Since $2001\equiv3\pmod6,$ the requested sum is $x+y+(y-x)=2y=986.$

1985 AIME Problema 5

Respuesta: 986

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años