Question

Para números reales positivos $s$ , sea $\tau(s)$ el conjunto de todos los triángulos obtusángulos que tienen área $s$ y dos lados de longitudes $4$ y $10$ . El conjunto de todos los $s$ para los que $\tau(s)$ es no vacío, pero todos los triángulos de $\tau(s)$ son congruentes, es un intervalo $[a, b)$ . Halle $a^2 + b^2$ .

For positive real numbers $s,$ let $\tau(s)$ denote the set of all obtuse triangles that have area $s$ and two sides with lengths $4$ and $10.$ The set of all $s$ for which $\tau(s)$ is nonempty, but all triangles in $\tau(s)$ are congruent, is an interval $[a, b).$ Find $a^2 + b^2.$

Respuesta

Solución:

Un triángulo con lados $4$ y $10$ queda determinado por el ángulo incluido $\theta$ , y su área es $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \sin\theta = 20\sin\theta$ . Cuando $\theta \gt 90^\circ$ , el triángulo es obtusángulo, y este caso produce exactamente un triángulo para cada área $s \in (0, 20)$ .

Cuando $\theta \lt 90^\circ$ , el tercer lado satisface $c^2 = 116 - 80\cos\theta$ , y el triángulo es obtusángulo solo si el ángulo opuesto al lado de longitud $10$ es obtuso (si $c$ fuera el lado más largo, su ángulo opuesto $\theta$ sería agudo, haciendo agudo el triángulo). Eso requiere $4^2 + c^2 \lt 10^2$ , es decir $116 - 80\cos\theta \lt 84$ , es decir $\cos\theta \gt \frac{2}{5}$ . Entonces $\sin\theta \lt \frac{\sqrt{21}}{5}$ , así que esta segunda familia existe exactamente para $s \lt 4\sqrt{21}$ .

Para $s \lt 4\sqrt{21}$ hay dos triángulos obtusángulos no congruentes (sus terceros lados difieren), mientras que para $4\sqrt{21} \le s \lt 20$ solo existe el triángulo con $\theta$ obtuso: en $s = 4\sqrt{21}$ el candidato con $\theta$ agudo degenera en un triángulo rectángulo. Para $s \ge 20$ no hay ninguno. Por lo tanto $[a, b) = [4\sqrt{21}, 20)$ y $a^2 + b^2 = 336 + 400 = 736$ .

A triangle with sides $4$ and $10$ is determined by the included angle $\theta,$ and its area is $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \sin\theta = 20\sin\theta.$ When $\theta \gt 90^\circ$ the triangle is obtuse, and this case produces exactly one triangle for each area $s \in (0, 20).$

When $\theta \lt 90^\circ,$ the third side satisfies $c^2 = 116 - 80\cos\theta,$ and the triangle is obtuse only if the angle opposite the side of length $10$ is obtuse (if $c$ were the longest side, its opposite angle $\theta$ would be acute, making the triangle acute). That requires $4^2 + c^2 \lt 10^2,$ i.e. $116 - 80\cos\theta \lt 84,$ i.e. $\cos\theta \gt \frac{2}{5}.$ Then $\sin\theta \lt \frac{\sqrt{21}}{5},$ so this second family exists exactly for $s \lt 4\sqrt{21}.$

For $s \lt 4\sqrt{21}$ there are two non-congruent obtuse triangles (their third sides differ), while for $4\sqrt{21} \le s \lt 20$ only the obtuse- $\theta$ triangle exists: at $s = 4\sqrt{21}$ the acute- $\theta$ candidate degenerates to a right triangle. For $s \ge 20$ there are none. Hence $[a, b) = [4\sqrt{21}, 20)$ and $a^2 + b^2 = 336 + 400 = 736.$

2021 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años