Question

Determina la cantidad de pares ordenados $(a, b)$ de enteros tales que $\log_a b + 6\log_b a = 5$ , $2 \le a \le 2005$ , y $2 \le b \le 2005$ .

Determine the number of ordered pairs $(a, b)$ of integers such that $\log_a b + 6\log_b a = 5,$ $2 \le a \le 2005,$ and $2 \le b \le 2005.$

Respuesta

Solución:

Sea $x = \log_a b$ . Como $\log_b a = \frac{1}{x}$ , la ecuación se vuelve $x + \frac{6}{x} = 5$ , es decir, $x^2 - 5x + 6 = 0$ , así que $x = 2$ o $x = 3$ . Eso significa que $b = a^2$ o $b = a^3$ .

Para $b = a^2 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 44$ (ya que $44^2 = 1936$ y $45^2 = 2025$ ), lo que da $43$ pares. Para $b = a^3 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 12$ (ya que $12^3 = 1728$ y $13^3 = 2197$ ), lo que da $11$ pares.

En total hay $43 + 11 = 54$ pares ordenados.

Let $x = \log_a b.$ Since $\log_b a = \frac{1}{x},$ the equation becomes $x + \frac{6}{x} = 5,$ i.e. $x^2 - 5x + 6 = 0,$ so $x = 2$ or $x = 3.$ That means $b = a^2$ or $b = a^3.$

For $b = a^2 \le 2005$ we need $2 \le a \le 44$ (since $44^2 = 1936$ and $45^2 = 2025$ ), giving $43$ pairs. For $b = a^3 \le 2005$ we need $2 \le a \le 12$ (since $12^3 = 1728$ and $13^3 = 2197$ ), giving $11$ pairs.

In total there are $43 + 11 = 54$ ordered pairs.

2005 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años