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2005 AIME II Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2005 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Determina la cantidad de pares ordenados (a,b)(a, b) de enteros tales que log⁡ab+6log⁡ba=5,\log_a b + 6\log_b a = 5, 2≤a≤20052 \le a \le 2005 y 2≤b≤2005.2 \le b \le 2005.
Determine the number of ordered pairs (a,b)(a, b) of integers such that log⁡ab+6log⁡ba=5,\log_a b + 6\log_b a = 5, 2≤a≤2005,2 \le a \le 2005, and 2≤b≤2005.2 \le b \le 2005.
Respuesta: 54
Conceptos:logaritmocuadráticaconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:
Pon x=log⁡ab;x = \log_a b; como log⁡ba=1x,\log_b a = \frac{1}{x}, la ecuación se vuelve x+6x=5.x + \frac{6}{x} = 5.
Set x=log⁡ab;x = \log_a b; since log⁡ba=1x,\log_b a = \frac{1}{x}, the equation becomes x+6x=5x + \frac{6}{x} = 5
Pista grande:
Los dos casos son b=a2b = a^2 y b=a3;b = a^3; cuenta cuántos a≥2a \ge 2 mantienen b≤2005b \le 2005 en cada caso.
The two cases are b=a2b = a^2 and b=a3;b = a^3; count how many a≥2a \ge 2 keep b≤2005b \le 2005 in each
Solución:
Sea x=log⁡ab.x = \log_a b. Como log⁡ba=1x,\log_b a = \frac{1}{x}, la ecuación se vuelve x+6x=5,x + \frac{6}{x} = 5, es decir, x2−5x+6=0,x^2 - 5x + 6 = 0, así que x=2x = 2 o x=3.x = 3. Eso significa que b=a2b = a^2 o b=a3.b = a^3.
Para b=a2≤2005b = a^2 \le 2005 necesitamos 2≤a≤442 \le a \le 44 (ya que 442=193644^2 = 1936 y 452=202545^2 = 2025), lo que da 4343 pares. Para b=a3≤2005b = a^3 \le 2005 necesitamos 2≤a≤122 \le a \le 12 (ya que 123=172812^3 = 1728 y 133=219713^3 = 2197), lo que da 1111 pares.
En total hay 43+11=5443 + 11 = 54 pares ordenados.
Let x=log⁡ab.x = \log_a b. Since log⁡ba=1x,\log_b a = \frac{1}{x}, the equation becomes x+6x=5,x + \frac{6}{x} = 5, i.e. x2−5x+6=0,x^2 - 5x + 6 = 0, so x=2x = 2 or x=3.x = 3. That means b=a2b = a^2 or b=a3.b = a^3.
For b=a2≤2005b = a^2 \le 2005 we need 2≤a≤442 \le a \le 44 (since 442=193644^2 = 1936 and 452=202545^2 = 2025), giving 4343 pairs. For b=a3≤2005b = a^3 \le 2005 we need 2≤a≤122 \le a \le 12 (since 123=172812^3 = 1728 and 133=219713^3 = 2197), giving 1111 pairs.
In total there are 43+11=5443 + 11 = 54 ordered pairs.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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