Question

Un conjunto de números positivos tiene la propiedad del triángulo si tiene tres elementos distintos que son las longitudes de los lados de un triángulo cuya área es positiva. Considera conjuntos $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ de enteros positivos consecutivos, tales que todos sus subconjuntos de diez elementos tienen la propiedad del triángulo. ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

A set of positive numbers has the triangle property if it has three distinct elements that are the lengths of the sides of a triangle whose area is positive. Consider sets $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ of consecutive positive integers, all of whose ten-element subsets have the triangle property. What is the largest possible value of $n?$

Respuesta

Solución:

Supongamos que un conjunto de diez elementos $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ no tiene triángulo. Entonces cada tres elementos incumplen la desigualdad triangular estricta; en particular $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ para cada $i.$ Partiendo de $a_1 \ge 4$ y $a_2 \ge 5,$ esto obliga a $a_3 \ge 9,$ $a_4 \ge 14,$ $a_5 \ge 23,$ $a_6 \ge 37,$ $a_7 \ge 60,$ $a_8 \ge 97,$ $a_9 \ge 157,$ y $a_{10} \ge 254.$

Así que si $n \le 253,$ ningún subconjunto de diez elementos de $\{4, 5, \ldots, n\}$ puede evitar los triángulos, ya que su mayor elemento tendría que ser al menos $254.$ Recíprocamente, tomando la igualdad en todo, el subconjunto $\{4, 5, 9, 14, 23,$ $37, 60, 97, 157, 254\}$ de $\{4, 5, \ldots, 254\}$ no tiene triángulo.

Por tanto, el mayor valor posible es $n = 253.$

Suppose a ten-element set $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ has no triangle. Then every three elements fail the strict triangle inequality; in particular $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ for each $i.$ Starting from $a_1 \ge 4$ and $a_2 \ge 5,$ this forces $a_3 \ge 9,$ $a_4 \ge 14,$ $a_5 \ge 23,$ $a_6 \ge 37,$ $a_7 \ge 60,$ $a_8 \ge 97,$ $a_9 \ge 157,$ and $a_{10} \ge 254.$

So if $n \le 253,$ no ten-element subset of $\{4, 5, \ldots, n\}$ can avoid triangles, since its largest element would have to be at least $254.$ Conversely, taking equality throughout, the subset $\{4, 5, 9, 14, 23,$ $37, 60, 97, 157, 254\}$ of $\{4, 5, \ldots, 254\}$ has no triangle.

Therefore the largest possible value is $n = 253.$

2001 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años