Question

Un río recto de $264$ metros de ancho fluye de oeste a este a razón de $14$ metros por minuto. Melanie y Sherry están sentadas en la orilla sur del río, con Melanie a una distancia de $D$ metros río abajo de Sherry. Respecto al agua, Melanie nada a $80$ metros por minuto, y Sherry nada a $60$ metros por minuto. Al mismo tiempo, Melanie y Sherry comienzan a nadar en línea recta hacia un punto de la orilla norte del río que equidista de sus posiciones iniciales. Las dos mujeres llegan a este punto simultáneamente. Halla $D.$

A straight river that is $264$ meters wide flows from west to east at a rate of $14$ meters per minute. Melanie and Sherry sit on the south bank of the river with Melanie a distance of $D$ meters downstream from Sherry. Relative to the water, Melanie swims at $80$ meters per minute, and Sherry swims at $60$ meters per minute. At the same time, Melanie and Sherry begin swimming in straight lines to a point on the north bank of the river that is equidistant from their starting positions. The two women arrive at this point simultaneously. Find $D.$

Respuesta

Solución:

Coloca a Sherry en el origen y a Melanie en $(D, 0)$ sobre la orilla sur. Un punto de la orilla norte equidistante de ambas es $\left(\frac{D}{2}, 264\right).$ Si ambas llegan en el tiempo $t,$ entonces la velocidad de cada nadadora respecto al agua es su velocidad respecto al suelo menos la corriente $(14, 0),$ así que $\begin{aligned} &\left(\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 60^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\left(-\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 80^2. \end{aligned}$

Restando, con $u = \frac{D}{2t}:$ $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 56u$ $= 6400 - 3600$ $= 2800,$ así que $u = 50.$ Sustituyendo de nuevo, $(50 - 14)^2 + \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 3600$ da $\frac{264}{t} = 48,$ así que $t = \frac{11}{2}.$

Por lo tanto $D = 2ut = 100t = 550.$

Put Sherry at the origin and Melanie at $(D, 0)$ on the south bank. A point on the north bank equidistant from both is $\left(\frac{D}{2}, 264\right).$ If both arrive at time $t,$ then each swimmer's velocity relative to the water is her ground velocity minus the current $(14, 0),$ so $\begin{aligned} &\left(\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 60^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\left(-\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 80^2. \end{aligned}$

Subtracting, with $u = \frac{D}{2t}:$ $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 56u$ $= 6400 - 3600$ $= 2800,$ so $u = 50.$ Substituting back, $(50 - 14)^2 + \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 3600$ gives $\frac{264}{t} = 48,$ so $t = \frac{11}{2}.$

Therefore $D = 2ut = 100t = 550.$

2022 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años