Question

El triángulo equilátero

T

está inscrito en el círculo

A,

que tiene radio

10.

El círculo

B

de radio

3

es tangente interiormente al círculo

A

en un vértice de

T.

Los círculos

C

y

D,

ambos de radio

2,

son tangentes interiormente al círculo

A

en los otros dos vértices de

T.

Los círculos

B,

C,

y

D

son todos tangentes exteriormente al círculo

E,

que tiene radio

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Equilateral triangle

T

is inscribed in circle

A,

which has radius

10.

Circle

B

with radius

3

is internally tangent to circle

A

at one vertex of

T.

Circles

C

and

D,

both with radius

2,

are internally tangent to circle

A

at the other two vertices of

T.

Circles

B,

C,

and

D

are all externally tangent to circle

E,

which has radius

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 32

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Los centros de los círculos tangentes interiormente están sobre los radios del círculo

A;

coloca el centro de

A

en el origen con el vértice del radio

3

arriba

Centers of internally tangent circles lie along radii of circle

A;

put the center of

A

at the origin with the radius-

3

vertex on top

Pista grande:

Por simetría, el centro de

E

está sobre el eje vertical. La tangencia con

B

lo coloca a la altura

4 - r;

luego la tangencia con

C

da una ecuación en

r.

By symmetry

E

’s center is on the vertical axis. Tangency to

B

puts it at height

4 - r;

then tangency to

C

gives an equation in

r.

Solución:

Coloca el centro del círculo

A

en el origen con los vértices del triángulo en

(0, 10)

y

\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right).

Un círculo tangente interiormente a

A

en un vértice tiene su centro sobre el radio hacia ese vértice, así que el círculo

B

tiene centro

(0, 7)

y los círculos

C

y

D

tienen centros

\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right)

(a distancia

10 - 2 = 8

del origen).

Por simetría, el centro del círculo

E,

de radio

r,

está sobre el eje

y

en

(0, y).

La tangencia exterior con

B

da

7 - y = r + 3,

así que

y = 4 - r.

La tangencia exterior con

C

da

\begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned}

es decir,

48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2,

que se simplifica a

112 - 16r = 4r + 4,

así que

r = \frac{27}{5}.

Entonces

m + n = 27 + 5 = 32.

Place the center of circle

A

at the origin with the triangle’s vertices at

(0, 10)

and

\left(\pm 5\sqrt{3}, -5\right).

A circle internally tangent to

A

at a vertex has its center on the radius to that vertex, so circle

B

has center

(0, 7)

and circles

C

and

D

have centers

\left(\mp 4\sqrt{3}, -4\right)

(at distance

10 - 2 = 8

from the origin).

By symmetry the center of circle

E,

of radius

r,

lies on the

y

-axis at

(0, y).

External tangency to

B

gives

7 - y = r + 3,

so

y = 4 - r.

External tangency to

C

gives

\begin{aligned} &\left(4\sqrt{3}\right)^2 \\ &\quad {}+ (4 - r + 4)^2 = (r + 2)^2, \end{aligned}

that is,

48 + (8 - r)^2 = (r + 2)^2,

which simplifies to

112 - 16r = 4r + 4,

so

r = \frac{27}{5}.

Then

m + n = 27 + 5 = 32.

2009 AIME II Problema 5

Respuesta: 32

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años