Question

Un cono circular recto tiene radio de base $r$ y altura $h.$ El cono está apoyado sobre su costado en una mesa plana. Cuando el cono rueda sobre la superficie de la mesa sin deslizarse, el punto donde la base del cono toca la mesa traza un arco circular centrado en el punto donde el vértice toca la mesa. El cono regresa por primera vez a su posición original sobre la mesa después de dar $17$ rotaciones completas. El valor de $h/r$ puede escribirse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

A right circular cone has base radius $r$ and height $h.$ The cone lies on its side on a flat table. As the cone rolls on the surface of the table without slipping, the point where the cone's base meets the table traces a circular arc centered at the point where the vertex touches the table. The cone first returns to its original position on the table after making $17$ complete rotations. The value of $h/r$ can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

El punto de contacto de la base se mantiene a distancia $\ell = \sqrt{r^2 + h^2}$ (la generatriz) del vértice fijo, así que traza un círculo de radio $\ell.$ Al rodar sin deslizarse, el cono da una rotación por cada circunferencia de la base de arco, así que regresar después de exactamente $17$ rotaciones significa $2\pi\sqrt{r^2 + h^2} = 17 \cdot 2\pi r,$ es decir $\sqrt{r^2 + h^2} = 17r.$

Elevar al cuadrado da $h^2 = 288r^2,$ así que $h/r = \sqrt{288} = 12\sqrt{2},$ y $m + n = 12 + 2 = 14.$

The contact point of the base stays at distance $\ell = \sqrt{r^2 + h^2}$ (the slant height) from the fixed vertex, so it traces a circle of radius $\ell.$ Rolling without slipping, the cone makes one rotation for each base circumference of arc, so returning after exactly $17$ rotations means $2\pi\sqrt{r^2 + h^2} = 17 \cdot 2\pi r,$ i.e. $\sqrt{r^2 + h^2} = 17r.$

Squaring gives $h^2 = 288r^2,$ so $h/r = \sqrt{288} = 12\sqrt{2},$ and $m + n = 12 + 2 = 14.$

2008 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años