Respuesta: 42

Pista pequeña:

$\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ así que $a^6$ no divide a $6^a$ exactamente cuando $6n \gt a$ o $6m \gt a$

Pista grande:

Si $m$ y $n$ son ambos al menos $1,$ entonces $a \ge 6n$ y $a \ge 6m,$ así que solo potencias puras de $2$ o de $3$ pueden funcionar

Solución:

Con $a = 2^n 3^m,$ $$\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$$ que no es un entero exactamente cuando $6n \gt a$ o $6m \gt a.$

Si $m, n \ge 1,$ entonces $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (ya que $2^n \ge 2n$) y de modo similar $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ así que ningún $a$ de este tipo funciona. Si $m = 0,$ la condición es $2^n \lt 6n,$ que se cumple para $n = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ dando $a = 2,$ $4,$ $8,$ $16.$ Si $n = 0,$ la condición es $3^m \lt 6m,$ que se cumple para $m = 1,$ $2,$ dando $a = 3,$ $9.$ (Para $a = 1$ la condición no se cumple.)

La suma es $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$