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2002 AIME II Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2002 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2002 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Halla la suma de todos los enteros positivos a=2n3m,a = 2^n 3^m, donde nn y mm son enteros no negativos, para los cuales a6a^6 no es un divisor de 6a.6^a.
Find the sum of all positive integers a=2n3m,a = 2^n 3^m, where nn and mm are non-negative integers, for which a6a^6 is not a divisor of 6a.6^a.
Respuesta: 42
Conceptos:divisibilidadfactorización en primosanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2430
Pista pequeña:
6aa6=2a3a26n36m,\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}, así que a6a^6 no divide a 6a6^a exactamente cuando 6n>a6n \gt a o 6m>a6m \gt a
6aa6=2a3a26n36m,\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}, so a6a^6 fails to divide 6a6^a exactly when 6n>a6n \gt a or 6m>a6m \gt a
Pista grande:
Si mm y nn son ambos al menos 1,1, entonces a≥6na \ge 6n y a≥6m,a \ge 6m, así que solo potencias puras de 22 o de 33 pueden funcionar
If mm and nn are both at least 1,1, then a≥6na \ge 6n and a≥6m,a \ge 6m, so only pure powers of 22 or of 33 can work
Solución:
Con a=2n3m,a = 2^n 3^m, 6aa6=2a3a26n36m,\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}, que no es un entero exactamente cuando 6n>a6n \gt a o 6m>a.6m \gt a.
Si m,n≥1,m, n \ge 1, entonces a≥3⋅2n≥6na \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n (ya que 2n≥2n2^n \ge 2n) y de modo similar a≥2⋅3m≥6m,a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m, así que ningún aa de este tipo funciona. Si m=0,m = 0, la condición es 2n<6n,2^n \lt 6n, que se cumple para n=1,n = 1, 2,2, 3,3, 4,4, dando a=2,a = 2, 4,4, 8,8, 16.16. Si n=0,n = 0, la condición es 3m<6m,3^m \lt 6m, que se cumple para m=1,m = 1, 2,2, dando a=3,a = 3, 9.9. (Para a=1a = 1 la condición no se cumple.)
La suma es 2+4+8+16+3+9=42.2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.
With a=2n3m,a = 2^n 3^m, 6aa6=2a3a26n36m,\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}}, which fails to be an integer exactly when 6n>a6n \gt a or 6m>a.6m \gt a.
If m,n≥1,m, n \ge 1, then a≥3⋅2n≥6na \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n (since 2n≥2n2^n \ge 2n) and similarly a≥2⋅3m≥6m,a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m, so no such aa works. If m=0,m = 0, the condition is 2n<6n,2^n \lt 6n, which holds for n=1,n = 1, 2,2, 3,3, 4,4, giving a=2,a = 2, 4,4, 8,8, 16.16. If n=0,n = 0, the condition is 3m<6m,3^m \lt 6m, which holds for m=1,m = 1, 2,2, giving a=3,a = 3, 9.9. (For a=1a = 1 the condition fails.)
The sum is 2+4+8+16+3+9=42.2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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