Question

Halla la suma de todos los enteros positivos $a = 2^n 3^m,$ donde $n$ y $m$ son enteros no negativos, para los cuales $a^6$ no es un divisor de $6^a.$

Find the sum of all positive integers $a = 2^n 3^m,$ where $n$ and $m$ are non-negative integers, for which $a^6$ is not a divisor of $6^a.$

Respuesta

Solución:

Con $a = 2^n 3^m,$ $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ que no es un entero exactamente cuando $6n \gt a$ o $6m \gt a.$

Si $m, n \ge 1,$ entonces $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (ya que $2^n \ge 2n$ ) y de modo similar $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ así que ningún $a$ de este tipo funciona. Si $m = 0,$ la condición es $2^n \lt 6n,$ que se cumple para $n = 1, 2, 3, 4,$ dando $a = 2, 4, 8, 16.$ Si $n = 0,$ la condición es $3^m \lt 6m,$ que se cumple para $m = 1, 2,$ dando $a = 3, 9.$ (Para $a = 1$ la condición no se cumple.)

La suma es $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$

With $a = 2^n 3^m,$ $\frac{6^a}{a^6} = \frac{2^a 3^a}{2^{6n} 3^{6m}},$ which fails to be an integer exactly when $6n \gt a$ or $6m \gt a.$

If $m, n \ge 1,$ then $a \ge 3 \cdot 2^n \ge 6n$ (since $2^n \ge 2n$ ) and similarly $a \ge 2 \cdot 3^m \ge 6m,$ so no such $a$ works. If $m = 0,$ the condition is $2^n \lt 6n,$ which holds for $n = 1, 2, 3, 4,$ giving $a = 2, 4, 8, 16.$ If $n = 0,$ the condition is $3^m \lt 6m,$ which holds for $m = 1, 2,$ giving $a = 3, 9.$ (For $a = 1$ the condition fails.)

The sum is $2 + 4 + 8 + 16 + 3 + 9 = 42.$

2002 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años