Question

Se marcan veinte puntos distintos en una circunferencia y se etiquetan de $1$ a $20$ en sentido horario. Se traza un segmento entre cada par de puntos cuyas etiquetas difieren en un número primo. Halla el número de triángulos formados cuyos vértices están entre los $20$ puntos originales.

Twenty distinct points are marked on a circle and labeled $1$ through $20$ in clockwise order. A line segment is drawn between every pair of points whose labels differ by a prime number. Find the number of triangles formed whose vertices are among the original $20$ points.

Respuesta

Solución:

Un triángulo tiene vértices $i \lt j \lt k$ donde $j - i,$ $k - j,$ y $k - i$ son todos primos. Como $k - i = (j - i) + (k - j)$ es un primo que es suma de dos primos, y la suma de dos primos impares es par, una de las dos diferencias menores debe ser igual a $2.$ Así que las diferencias son $\{2, p\}$ en algún orden con $p$ y $p + 2$ ambos primos: los pares de primos gemelos con $p + 2 \le 19$ son $(3, 5),$ $(5, 7),$ $(11, 13),$ y $(17, 19).$

Para cada par, el vértice del medio puede estar a distancia $2$ o a distancia $p$ del menor, y el tramo total es $p + 2,$ así que hay $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ triángulos. Esto da $2 \cdot 15 = 30,$ $2 \cdot 13 = 26,$ $2 \cdot 7 = 14,$ y $2 \cdot 1 = 2$ para los cuatro pares.

El total es $30 + 26 + 14 + 2 = 72.$

A triangle has vertices $i \lt j \lt k$ where $j - i,$ $k - j,$ and $k - i$ are all prime. Since $k - i = (j - i) + (k - j)$ is a prime that is a sum of two primes, and the sum of two odd primes is even, one of the two smaller differences must equal $2.$ So the differences are $\{2, p\}$ in some order with $p$ and $p + 2$ both prime: the twin prime pairs with $p + 2 \le 19$ are $(3, 5),$ $(5, 7),$ $(11, 13),$ and $(17, 19).$

For each pair, the middle vertex can be at distance $2$ or at distance $p$ from the smallest, and the total span is $p + 2,$ so there are $2\bigl(20 - (p + 2)\bigr)$ triangles. This gives $2 \cdot 15 = 30,$ $2 \cdot 13 = 26,$ $2 \cdot 7 = 14,$ and $2 \cdot 1 = 2$ for the four pairs.

The total is $30 + 26 + 14 + 2 = 72.$

2022 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años