Question

Dados ocho anillos distinguibles, sea $n$ el número de posibles disposiciones de cinco anillos sobre los cuatro dedos (no el pulgar) de una mano. El orden de los anillos en cada dedo importa, pero no se requiere que cada dedo tenga un anillo. Halla los tres primeros dígitos no nulos de $n$ empezando por la izquierda.

Given eight distinguishable rings, let $n$ be the number of possible five-ring arrangements on the four fingers (not the thumb) of one hand. The order of rings on each finger is significant, but it is not required that each finger have a ring. Find the leftmost three nonzero digits of $n.$

Respuesta

Solución:

Elige cuáles cinco anillos usar de $\binom{8}{5} = 56$ maneras, y ordénalos (leyendo hacia abajo el primer dedo, luego el segundo, y así sucesivamente) de $5! = 120$ maneras. Queda repartir la lista ordenada en cuatro bloques consecutivos posiblemente vacíos, uno por dedo: el número de composiciones de $5$ en $4$ partes no negativas, que por barras y estrellas es $\binom{8}{3} = 56$ .

Por lo tanto $n = 56 \cdot 120 \cdot 56 = 376320$ , cuyos tres primeros dígitos no nulos empezando por la izquierda son $376$ .

Choose which five rings to use in $\binom{8}{5} = 56$ ways, and order them (reading down the first finger, then the second, and so on) in $5! = 120$ ways. It remains to split the ordered list into four possibly empty consecutive blocks, one per finger: the number of compositions of $5$ into $4$ nonnegative parts, which by stars and bars is $\binom{8}{3} = 56.$

Therefore $n = 56 \cdot 120 \cdot 56 = 376320,$ whose leftmost three nonzero digits are $376.$

2000 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años