Question

Robert tiene $4$ monedas de oro indistinguibles y $4$ monedas de plata indistinguibles. Cada moneda tiene grabada una cara en un lado, pero no en el otro. Quiere apilar las ocho monedas sobre una mesa en una sola pila de modo que no haya dos monedas adyacentes cara con cara. Halle el número de disposiciones distinguibles posibles de las $8$ monedas.

Robert has $4$ indistinguishable gold coins and $4$ indistinguishable silver coins. Each coin has an engraving of a face on one side, but not on the other. He wants to stack the eight coins on a table into a single stack so that no two adjacent coins are face to face. Find the number of possible distinguishable arrangements of the $8$ coins.

Respuesta

Respuesta: 630

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Trate las orientaciones y los colores por separado. Registre la orientación de cada moneda, de abajo hacia arriba, como $U$ (cara hacia arriba) o $D$ (cara hacia abajo).

Handle orientations and colors separately. Record each coin’s orientation, bottom to top, as $U$ (face up) or $D$ (face down).

Pista grande:

El caso cara con cara ocurre exactamente cuando una $U$ queda justo debajo de una $D,$ así que todas las $D$ deben ir antes que todas las $U$

Face to face happens exactly when a $U$ sits directly below a $D,$ so all the $D$ ’s must come before all the $U$ ’s

Solución:

Elija las orientaciones de las monedas y las posiciones de oro/plata de manera independiente. Registre las orientaciones de abajo hacia arriba como una cadena de $U$ (cara grabada hacia arriba) y $D$ (cara grabada hacia abajo). Dos monedas adyacentes están cara con cara exactamente cuando la cara grabada de la moneda inferior apunta hacia arriba y la de la moneda superior apunta hacia abajo, es decir, exactamente cuando a una $U$ le sigue inmediatamente una $D.$

Una cadena de $U$ y $D$ evita el patrón $UD$ exactamente cuando toda $D$ precede a toda $U,$ así que la cadena es $\text{D}^i\text{U}^{8-i}$ para algún $i = 0, 1, \ldots, 8:$ hay $9$ cadenas de orientación permitidas. De manera independiente, las monedas de oro ocupan $4$ de las $8$ posiciones de $\binom{8}{4} = 70$ maneras.

El total es $9 \cdot 70 = 630.$

Choose the coin orientations and the gold/silver positions independently. Record the orientations from bottom to top as a string of $U$ (engraved face up) and $D$ (engraved face down). Two adjacent coins are face to face exactly when the lower coin’s engraved side faces up and the upper coin’s engraved side faces down — that is, exactly when a $U$ is immediately followed by a $D.$

A string of $U$ ’s and $D$ ’s avoids the pattern $UD$ exactly when every $D$ precedes every $U,$ so the string is $\text{D}^i\text{U}^{8-i}$ for some $i = 0, 1, \ldots, 8:$ there are $9$ allowable orientation strings. Independently, the gold coins occupy $4$ of the $8$ positions in $\binom{8}{4} = 70$ ways.

The total is $9 \cdot 70 = 630.$

2005 AIME I Problema 5

Respuesta: 630

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años