Question

Sea el conjunto $S = \{P_1, P_2, \ldots, P_{12}\}$ formado por los doce vértices de un $12$ -ágono regular. Un subconjunto $Q$ de $S$ se llama comunal si existe un círculo tal que todos los puntos de $Q$ están dentro del círculo, y todos los puntos de $S$ que no están en $Q$ están fuera del círculo. ¿Cuántos subconjuntos comunales hay? (Nótese que el conjunto vacío es un subconjunto comunal.)

Let the set $S = \{P_1, P_2, \ldots, P_{12}\}$ consist of the twelve vertices of a regular $12$ -gon. A subset $Q$ of $S$ is called communal if there is a circle such that all points of $Q$ are inside the circle, and all points of $S$ not in $Q$ are outside of the circle. How many communal subsets are there? (Note that the empty set is a communal subset.)

Respuesta

Solución:

Un subconjunto $Q$ es comunal exactamente cuando sus vértices son consecutivos alrededor del $12$ -ágono. En efecto, un círculo separador corta la circunferencia circunscrita del $12$ -ágono en a lo sumo dos puntos, así que los vértices en su interior forman un arco contiguo. Recíprocamente, cualquier tramo de vértices consecutivos puede separarse de los vértices restantes mediante una recta, y un círculo suficientemente grande del lado adecuado de esa recta contiene exactamente ese tramo.

Para cada tamaño $k$ con $1 \le k \le 11$ hay $12$ tramos de $k$ vértices consecutivos (uno que empieza en cada vértice), lo que da $12 \cdot 11 = 132$ subconjuntos, y el conjunto vacío y todo $S$ también son comunales. El total es $132 + 2 = 134.$

A subset $Q$ is communal exactly when its vertices are consecutive around the $12$ -gon. Indeed, a separating circle meets the circumcircle of the $12$ -gon in at most two points, so the vertices inside it form a contiguous arc. Conversely, any run of consecutive vertices can be separated from the remaining vertices by a line, and a sufficiently large circle on the proper side of that line contains exactly that run.

For each size $k$ with $1 \le k \le 11$ there are $12$ runs of $k$ consecutive vertices (one starting at each vertex), giving $12 \cdot 11 = 132$ subsets, and the empty set and all of $S$ are also communal. The total is $132 + 2 = 134.$

2014 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años