Question

Seis cartas numeradas del $1$ al $6$ se van a alinear en una fila. Halle el número de disposiciones de estas seis cartas en las que se puede retirar una de las cartas dejando las cinco cartas restantes en orden ascendente o descendente.

Six cards numbered $1$ through $6$ are to be lined up in a row. Find the number of arrangements of these six cards where one of the cards can be removed leaving the remaining five cards in either ascending or descending order.

Respuesta

Solución:

Primero cuente las disposiciones de las que retirar alguna carta deja el resto en orden ascendente. Cualquier disposición así surge al elegir la carta a retirar ( $6$ formas) e insertarla en uno de los $6$ huecos de las otras cinco cartas escritas en orden creciente, lo que da $36$ construcciones. Pero la fila completamente ordenada $123456$ surge de las $6$ elecciones de carta, y cada una de las $5$ disposiciones obtenidas al intercambiar dos cartas adyacentes de la fila ordenada surge dos veces (mover cualquiera de las dos cartas del par por encima de la otra). Cualquier otra construcción da una disposición distinta.

Así que el conteo ascendente es $1 + 5 + (36 - 6 - 10) = 26,$ y por simetría hay $26$ disposiciones descendentes. Ninguna disposición se cuenta en ambos totales: eso requeriría una subsecuencia ascendente y una descendente de cinco cartas, necesitando al menos $5 + 5 - 1 = 9$ cartas.

El total es $26 + 26 = 52.$

First count arrangements from which some card's removal leaves the rest ascending. Any such arrangement arises by choosing the card to remove ( $6$ ways) and inserting it into one of the $6$ gaps of the other five cards written in increasing order, for $36$ constructions. But the fully sorted row $123456$ arises from all $6$ card choices, and each of the $5$ arrangements obtained by swapping two adjacent cards of the sorted row arises twice (move either card of the pair past the other). Every other construction gives a distinct arrangement.

So the ascending count is $1 + 5 + (36 - 6 - 10) = 26,$ and by symmetry there are $26$ descending arrangements. No arrangement is counted in both totals: that would require an ascending and a descending subsequence of five cards, needing at least $5 + 5 - 1 = 9$ cards.

The total is $26 + 26 = 52.$

2020 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años