Question

Cada una de dos cajas contiene canicas negras y blancas, y el número total de canicas en las dos cajas es $25.$ Se saca una canica de cada caja al azar. La probabilidad de que ambas canicas sean negras es $\frac{27}{50},$ y la probabilidad de que ambas canicas sean blancas es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Each of two boxes contains both black and white marbles, and the total number of marbles in the two boxes is $25.$ One marble is taken out of each box randomly. The probability that both marbles are black is $\frac{27}{50},$ and the probability that both marbles are white is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

Respuesta

Solución:

Supongamos que las cajas tienen $a$ y $b$ canicas con $a + b = 25,$ y contienen $p$ y $q$ canicas negras. Entonces $\frac{pq}{ab} = \frac{27}{50},$ así que $50pq = 27ab,$ y como $\gcd(27, 50) = 1,$ necesitamos $50 \mid ab.$ Comprobando $a(25 - a)$ para $a = 1, \ldots, 12,$ solo $\{a, b\} = \{20, 5\}$ y $\{10, 15\}$ dan un múltiplo de $50.$

Para tamaños $20$ y $5:$ $pq = \frac{27 \cdot 100}{50} = 54,$ y como cada caja tiene además una canica blanca, $p \le 19$ y $q \le 4,$ lo que obliga a $p = 18,$ $q = 3.$ Las cantidades de blancas son $2$ y $2,$ así que la probabilidad blanca-blanca es $\frac{2}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{25}.$ Para tamaños $10$ y $15:$ $pq = \frac{27 \cdot 150}{50} = 81,$ y $p \le 9,$ $q \le 14$ obligan a $p = q = 9.$ Las cantidades de blancas son $1$ y $6,$ lo que da $\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{15} = \frac{1}{25}$ de nuevo.

En cualquier caso la probabilidad es $\frac{1}{25},$ así que $m + n = 1 + 25 = 26.$

Say the boxes hold $a$ and $b$ marbles with $a + b = 25,$ containing $p$ and $q$ black marbles. Then $\frac{pq}{ab} = \frac{27}{50},$ so $50pq = 27ab,$ and since $\gcd(27, 50) = 1,$ we need $50 \mid ab.$ Checking $a(25 - a)$ for $a = 1, \ldots, 12,$ only $\{a, b\} = \{20, 5\}$ and $\{10, 15\}$ give a multiple of $50.$

For sizes $20$ and $5:$ $pq = \frac{27 \cdot 100}{50} = 54,$ and since each box also holds a white marble, $p \le 19$ and $q \le 4,$ forcing $p = 18,$ $q = 3.$ The white counts are $2$ and $2,$ so the white-white probability is $\frac{2}{20} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{25}.$ For sizes $10$ and $15:$ $pq = \frac{27 \cdot 150}{50} = 81,$ and $p \le 9,$ $q \le 14$ force $p = q = 9.$ The white counts are $1$ and $6,$ giving $\frac{1}{10} \cdot \frac{6}{15} = \frac{1}{25}$ again.

Either way the probability is $\frac{1}{25},$ so $m + n = 1 + 25 = 26.$

2000 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años