Question

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales positivos $r$ tales que, cuando los dos números $r$ y $55r$ se escriben como fracciones irreducibles, la suma del numerador y el denominador de una fracción es igual a la suma del numerador y el denominador de la otra fracción. La suma de todos los elementos de $S$ puede expresarse en la forma $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $S$ be the set of all positive rational numbers $r$ such that when the two numbers $r$ and $55r$ are written as fractions in lowest terms, the sum of the numerator and denominator of one fraction is the same as the sum of the numerator and denominator of the other fraction. The sum of all the elements of $S$ can be expressed in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Escribe $r = \frac{a}{b}$ en forma irreducible y sea $g = \gcd(b, 55).$ Entonces $55r$ en forma irreducible es $\frac{55a/g}{b/g}$ (no es posible una cancelación adicional, ya que $\gcd(a, b) = 1$ y $55$ es libre de cuadrados). La condición es $a + b = \frac{55a}{g} + \frac{b}{g}.$ Si $g = 1$ esto obliga a $a = 55a,$ imposible; si $g = 55$ obliga a $b = \frac{b}{55},$ imposible.

Si $g = 5:$ $a + b = 11a + \frac{b}{5}$ da $\frac{4b}{5} = 10a,$ así que $2b = 25a.$ Como $\gcd(a, b) = 1,$ necesitamos $a = 2$ y $b = 25,$ de modo que $r = \frac{2}{25}$ (en efecto $2 + 25 = 27 = 22 + 5$ a partir de $55r = \frac{22}{5}$ ). Si $g = 11:$ $a + b = 5a + \frac{b}{11}$ da $\frac{10b}{11} = 4a,$ así que $5b = 22a,$ obligando a $a = 5,$ $b = 22$ y $r = \frac{5}{22}$ (con $5 + 22 = 27 = 25 + 2$ a partir de $55r = \frac{25}{2}$ ).

Por lo tanto $S = \left\{\frac{2}{25}, \frac{5}{22}\right\}$ y la suma es $\frac{2}{25} + \frac{5}{22} = \frac{44 + 125}{550} = \frac{169}{550},$ que ya es irreducible. La respuesta es $169 + 550 = 719.$

Write $r = \frac{a}{b}$ in lowest terms and let $g = \gcd(b, 55).$ Then $55r$ in lowest terms is $\frac{55a/g}{b/g}$ (no further cancellation is possible since $\gcd(a, b) = 1$ and $55$ is squarefree). The condition is $a + b = \frac{55a}{g} + \frac{b}{g}.$ If $g = 1$ this forces $a = 55a,$ impossible; if $g = 55$ it forces $b = \frac{b}{55},$ impossible.

If $g = 5:$ $a + b = 11a + \frac{b}{5}$ gives $\frac{4b}{5} = 10a,$ so $2b = 25a.$ Since $\gcd(a, b) = 1,$ we need $a = 2$ and $b = 25,$ so $r = \frac{2}{25}$ (indeed $2 + 25 = 27 = 22 + 5$ from $55r = \frac{22}{5}$ ). If $g = 11:$ $a + b = 5a + \frac{b}{11}$ gives $\frac{10b}{11} = 4a,$ so $5b = 22a,$ forcing $a = 5,$ $b = 22$ and $r = \frac{5}{22}$ (with $5 + 22 = 27 = 25 + 2$ from $55r = \frac{25}{2}$ ).

Hence $S = \left\{\frac{2}{25}, \frac{5}{22}\right\}$ and the sum is $\frac{2}{25} + \frac{5}{22} = \frac{44 + 125}{550} = \frac{169}{550},$ already in lowest terms. The answer is $169 + 550 = 719.$

2023 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años